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2020年高三理科数学一轮复习讲义 7.3【基本不等式及其应用】
最新考纲
1.了解基本不等式的证明过程;
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
a+b
1.基本不等式:ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
a+b(3)其中称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.
22.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. a+b?
(2)ab≤??2?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小). s2
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
4[微点提醒]
ba
1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. ab
a+b?a+b
2.ab≤??2?≤2. a+b3.≤ab≤≤112+ab
2
a2+b2(a>0,b>0). 2
基 础 自 测
2
2
2
2
1
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
a+b
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥ab成立的条件是相同的.( )
21
(2)函数y=x+的最小值是2.( )
x4
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.( )
sin xxy
(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.( )
yx
解析 (1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
a+b不等式≥ab成立的条件是a≥0,b≥0.
2
1
(2)函数y=x+的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.
x4
(3)函数f(x)=sin x+没有最小值.
sin xxy
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.
yx答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.9
B.18
C.36
D.81
x+y
解析 因为x+y=18,所以xy≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.
2答案 A
1
3.(必修5P100练习T1改编)若x<0,则x+( )
x
A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2 解析 因为x<0,所以-x>0,-x+
1
≥21=2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
x-x1
2
答案 D
x2-2x+11?
4.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)=,则f(x)在??2,3?上的最小值为( ) x1A. 2
4B. 3
C.-1
D.0
x2-2x+111
解析 f(x)==x+-2≥2-2=0,当且仅当x=,即x=1时取等号.
xxx1?1
,3,所以f(x)在?,3?上的最小值为0. 又1∈??2??2?答案 D
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x+2y=30,
2
11?x+2y?225
所以S=xy=x·(2y)≤?=,当且仅当x=2y,
22?2?2?15
即x=15,y=时取等号.
2答案 15
15 2
1
6.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+b的最小值为________.
81
解析 由题设知a-3b=-6,又2>0,8>0,所以2+b≥28
a
b
a
12·b=2·28
a
a-3b2
11
=,当且仅当2a=b,即a48
11
=-3,b=1时取等号.故2a+b的最小值为. 841
答案
4
考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值
多维探究
3