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2020年高三理科数学一轮复习讲义 7.3【基本不等式及其应用】
最新考纲
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
a＋b
1.基本不等式：ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.
22.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b?
(2)ab≤??2?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). s2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
4[微点提醒]
ba
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. ab
a＋b?a＋b
2.ab≤??2?≤2. a＋b3.≤ab≤≤112＋ab
2
a2＋b2(a>0，b>0). 2
基 础 自 测
2
2
2
2
1
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
a＋b
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab成立的条件是相同的.( )
21
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
x4
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
sin xxy
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
yx
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
a＋b不等式≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.
2
1
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
x4
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
sin xxy
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
yx答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.9
B.18
C.36
D.81
x＋y
解析 因为x＋y＝18，所以xy≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
2答案 A
1
3.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋( )
x
A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋
1
≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
x－x1
2
答案 D
x2－2x＋11?
4.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)＝，则f(x)在??2，3?上的最小值为( ) x1A. 2
4B. 3
C.－1
D.0
x2－2x＋111
解析 f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
xxx1?1
，3，所以f(x)在?，3?上的最小值为0. 又1∈??2??2?答案 D
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，
2
11?x＋2y?225
所以S＝xy＝x·(2y)≤?＝，当且仅当x＝2y，
22?2?2?15
即x＝15，y＝时取等号.
2答案 15
15 2
1
6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋b的最小值为________.
81
解析 由题设知a－3b＝－6，又2>0，8>0，所以2＋b≥28
a
b
a
12·b＝2·28
a
a－3b2
11
＝，当且仅当2a＝b，即a48
11
＝－3，b＝1时取等号.故2a＋b的最小值为. 841
答案
4
考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值
多维探究
3