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《工程数学（1）》教学大纲

课程编号：1000050 课程中文名称：工程数学（1）

课程英文名称：Engineering Mathematics 学时：54 学分：3 基本面向：7专业本科 一、 本课程的教学目的的性质和任务

本课程是高等院校电子专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。 二、 本课程的基本要求

通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。为后继课程的学习奠定良好的数学基础。

第一章 复数与复变函数

1. 理解复数的概念及各种表示法

2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算

3. 理解区域的有关概念

4. 掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法 5. 理解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系 6. 知道复变函数的极限与连续 第二章 解析函数

1. 理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法

2. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析 3. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质

第三章 复变函数的积分

1. 了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系。

2. 理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念

3. 理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些围道的积分 4. 理解高阶导数公式，会应用高阶导数公式计算某些积分

5. 了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部

第四章 级数

1. 知道复数列收敛的概念

2. 了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性

3. 理解阿贝尔定理，了解幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质。

sinz，4. 理解复变函数展开式成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数（ex，cosz，

ln(1?z)，(1?z)?）的麦克劳林展开式

5. 理解洛伦级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛伦级数

第五章 留数

1. 了解孤立奇点及其分类，掌握其判断方法 2. 掌握留数定理

3. 掌握求孤立奇点（包括?点）的留数的计算，能用留数定理求围道的积分 4. 知道留数定理在某些类型的定积分的应用， 第六章 共形映射

1. 理解导数的几何意义

2. 理解分式线性映射的概念，掌握分式线性运算的重要性质，保角性、保圆性、保对称性

3. 能求出三种典型分式线性映射的函数：(1)半平面到半平面映射(2)半平面到单位圆的映射（3）单位圆到单位圆的映射

4. 了解幂函数??zn，??ez映射的特点

第七章 傅里叶变换

1. 知道周期函数的傅里叶级数及其复数形式

2. 理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换 3. 了解?—函数的概念和性质，记住?—函数的傅氏变换 4. 了解傅里叶变换的性质 5. 了解卷积定理 第八章 拉普拉斯变换

1. 理解拉式变换的概念，注意它与傅氏变换的区别、联系 2. 掌握求拉式变换的方法 3. 掌握拉式变换的性质

4. 掌握用留数求拉式逆变换的方法 5. 了解卷积、卷积定理

6. 能熟练应用拉式变换，求解微分方程或微分方程组 三、本课程与有关课程的联系

本课程是高等数学在复数域的推广，高等数学中的重要概念，如导数、积分、级数、微分方程等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。学好高等数学是学好本课程的前提。本课程又是一门重要的基础课，它与工程力学、电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。 四、本课程的教学内容

第一章 复数与复变函数

复数及其代数运算。复数的几何表示。复数的乘幂与方根。区域复变函数。复变函数的极限与连续型

第二章 解析函数

复变函数的导数与微分，解析函数的定义，函数解析的充要条件，初等函数（指数函数、对数、幂函数、三角函数、反三角函数）的定义及解析性质，运算性质

第三章 复变函数的积分

积分的定义、性质及计算，柯西—古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系

第四章 级数

复数列、复数项级数的概念，幂级数的概念，幂级数的收敛半径及收敛圆，幂级数在收敛圆内的性质，泰勒级数，罗伦级数

第五章 留数

孤立奇点及其分类，极点与零点的关系，留数的定义，留数的计算（包括?的留数），利用留数求围道积分，留数在定积分计算上的应用

第六章 共形映射

解析函数的导数的几何意义，共形映射的概念，分式线性映射的保角性，保圆性及保对称性，幂函数、指数函数的映射

第七章 傅里叶变换

傅氏积分，傅氏变换及逆变换的概念，?函数的傅氏变换，函数的频谱，傅氏变换的性质，卷积定理

第八章 拉普拉斯变换

从傅氏变换到拉式变换，拉式变换的性质，拉式逆变换，卷积与卷积定理，拉式变换在解微分方程中的应用

五、本课程的教学内容重点、难点

第一章 复数与复变函数 重点：复变函数的概念 第二章 解析函数

重点：解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性 第三章 复变函数的积分

重点：柯西—古萨基本定理，复合闭合定理，柯西积分公式，高阶导数的积分表达式，解析函数与调和函数的关系。

难点：积分的定义和计算，由解析函数的实（虚）部求虚（实）部 第四章 级数

sinz，重点：幂函数的收敛半径及求法，解析函数展开成泰勒级数，几个特殊函数ex，

cosz，ln(1?z)，(1?z)?的麦克劳林展开式，在圆环域内解析的函数展开成洛伦级数。难点：复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散。

第五章 留数

重点：可去奇点、极点、本性奇点的概念及判断留数的计算方法，利用留数定理求围道积分。

难点：根据函数的不同特点求留数的方法。 第六章 共形映射

重点：共形映射的概念，分式线性映射的性质，??zn，??ez的映射。 难点：求将z平面上的指定区域映射为?平面上指定区域的函数??f(z) 第七章 傅里叶变换

重点：傅氏变换的概念及性质 第八章 拉普拉斯变换

重点：拉式变换的概念、性质、应用 六、本课程的教学建议