内容发布更新时间 : 2025/1/3 18:40:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

山东大学《数学分析III》期末复习参考题

题 号 得 分 一 二 三 四 总 分

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、函数f(x,y)?x?y?2、若f(x,y)?e3、函数f(x,y,z)=

?x?x2?y2在点（3，4）沿a???4,3?方向的方向导数是——。

cos(y?x2)，则fx (x,x2)= ———。

在点(1，－1，1)处的梯度等于__________.

4、设C为平面上从点A(x1,y1)到点B(x2,y2)的有向曲线弧，函数f(x)是连续函数，则

5、设函数z?z(x,y)由方程

?zxz?lncos所确定，则= ———。

?xzy6、设T为曲线x=acost，y=asint，z=at，0≤t≤2π，其中a为正的常数，则

?2ux7、设u?2，则= ———。

y?x?yx2?y28、函数z?的间断点为???????。

xy?sin(xy)9、设f(y,z)与g(y)都是可微函数，则曲线x?f(y,z),z?g(y)在点(x0,y0,z0)处的切线方程是______。

?2u10、设u?x?y?4xy，则2= ———。

?x4422二、选择题（共 5 小题，20 分）

1、曲线弧

上的曲线积分和

上的曲线积分有关系( )

2、设u?f(r),而r?x2?y2?z2，f(r)具有二阶连续导数，则

?2u?2u?2u?2?2=( ) 2?x?y?z(A)f(r)?\1'f(r) r(B)f(r)?\2'f(r) r(C)

1\1'1\2'f(r)?f(r)f(r)?f(r) (D)

rrr2r23、若曲线??xy?yz?zx??1在点(1,2,?1)处的一个切向量与oz轴正方向成锐角，则

?x?y?z?231（C）

14143 14此切向量与ox轴正方向所夹角的余弦为( )

（A）?1 14

??2（B）?（D）

4、广义积分? 1xe?xdx?（）

　(C)　e　　　(D)　??

1?1　(A)　　　(B)　2e2e5、曲面xcosz?ycosx?（A）x?z???1 （C）x?y???????z?在点?,1?,0?处的切平面方程为( )

?2222?（B）x?y???1 （D）x?z?? 2

? 2三、计算题（共 3小题，30 分）

1、设z?z(x,y)由方程z?x?y?(z)所确定，其中?二阶可导，且1?y??(z)?0，

?2z求2。 ?x2、设f(x,y)?????2??。 f,，求sintdtxx??x?y??44?x?y3、利用递推公式计算广义积分In????0xne?xdx（n为自然数）

四、证明题（10 分）

设函数u?F(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下有极值为u0?F(x0,y0,z0)，其中函数

F及?具有一阶连续偏导数且不全为零。试证明曲面u?F(x,y,z)与曲面?(x,y,z)?0在点?x0,y0,z0?处有相同的切平面（即两曲面相切）。

《数学分析III》期末试卷14答案与评分标准

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、?15 2、?e?x

3、e9?2i?6j?12k? 4、

5、

zy

xy?z2tanzy6、22?2 7、?2y3

8、x轴及y轴上的所有点。 9、

x?x0f?y?yz?z00?y(y0,z0)?fz(y0,z0)g?(y0)g?(y0)10、12x2?8y2

二、选择题（共 5 小题，20 分）

BBBAD

三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、解：

?z?x?11?y??(z) （4分）

?2zy???(z)zxy???(z)?x2??1?y??(z)?2??1?y??(z)?3 （10分） 2、解：

fx?sin(x?y)2?sin(x?y)2

4分）

（