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第二十一章 21.2.2公式法

知识点1：一元二次方程根的判别式及根的情况判别

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b-4ac来确定,我们把b-4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b-4ac.

一般地,方程ax+bx+c=0(a≠0). 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ<0时,方程没有实数根. 反过来,有

当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0; 当方程有两个相等的实数根时,Δ=0; 当方程没有实数根时,Δ<0.

归纳整理:一元二次方程根的判别式的应用:①不解方程判别根的情况;②根据方程解的情况确定系数的取值范围.

知识点2：用公式法解一元二次方程

一元二次方程ax+bx+c=0的求根公式:

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x1,2= (b-4ac≥0)

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可以利用一元二次方程的求根公式,由一元二次方程中系数a,b,c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法. 也就是说一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的.

方法:公式法解一元二次方程的一般步骤:

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1

适用范围:求根公式只适用于解一元二次方程,只有确定方程是一元二次方程后,才能应用公式求方程的解.

考点1：利用判别式判断一元二次方程的根的情况

【例1】 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)2x+3x=4;(2)ax+bx=0(a≠0). 解:(1)2x+3x-4=0, a=2,b=3,c=-4,

∵ Δ=b-4ac=3-4×2×(-4)=41>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2)∵ a≠0,

∴ 方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零. ∵ Δ=(-b)-4·a·0=b,

∵ 无论b取任何实数,b均为非负数, ∴ Δ≥0.

故方程有两个实数根.

点拨:将方程化为一般形式,确定a,b,c的值,计算b-4ac并与0进行比较. 考点2：利用判别式解决问题

【例2】 已知关于x的方程(m+2)x+2x-1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.

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解:由题意得Δ=2-4(m+2)·(-1)>0, 解得m>-3.

又方程有两个不相等的实数根,则方程必为一元二次方程, 即m+2≠0,解得m≠-2.

综上,m的取值范围是m>-3且m≠-2.

点拨:方程有两个不相等的实数根,说明方程必为一元二次方程,即Δ>0,同时还要注意二次项系数不为零这个条件.

考点3：利用求根公式解一元二次方程

【例3】 用公式法解下列方程:

(1)x+5x-6=0; (2)4x-3x-1=x-2; (3)x-6x+5=0; (4)x-6x+1=0. 解:(1)∵ a=1,b=5,c=-6,

∴ Δ=b-4ac=5-4×1×(-6)=49>0.

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2

2

2

2

2

∴ x=

2

.∴ x1=1,x2=-6.

(2)原方程可化为4x-4x+1=0. ∵ a=4,b=-4,c=1,∴ Δ=b-4ac=0. ∴ x=

.∴ x1=x2=.

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(3)∵ a=1,b=-6,c=5, ∴ Δ=b-4ac=16.∴ x=

2

.∴ x1=5,x2=1.

2

(4)∵ a=1,b=-6,c=1,∴ Δ=b-4ac=32. ∴ x=

.∴ x1=3+2

,x2=3-2

.

2

点拨:运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值,再计算出b-4ac的值,确定方程是否有实数解,若有,则代入公式求解.

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