内容发布更新时间 : 2024/12/26 21:05:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

平面几何中四个重要定理的应用（一）

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则

BPCQARP、Q、R共线的充要条件是 ???1。

PCQARBARBQCP塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共

BPCQAR点的充要条件是???1。

PCQARBARBPCQC

托勒密(Ptolemy)定理 D四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

A从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是F该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：ABDCEAlAE2AF。 ?EDFBAEDCBF【分析】CEF截△ABD→???1（梅氏定理）

EDCBFA【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

BECF求证：??1。

EAFA【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

BEAGMDDEG截△ABM→???1（梅氏定理）

EAGMDBCFAGMDDGF截△ACM→???1（梅氏定理）

FAGMDCBECFGM?(DB?DC)GM?2MD∴===1 ?EAFAAG?MD2GM?MD A【评注】

FBFPEBDCA梅氏定理

FGEDBGEDBMCC

3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

AFBDAFCEL????，AD、BE、CF交成△LMN。

DCFBEAE求S△LMN。 MN【分析】 BDCA

【评注】梅氏定理

4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△

ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。

CB【分析】

AA

GG【评注】塞瓦定理 NFDMF5． 已知△

ABC中，∠B=2

CBC∠C。求证：LBE22

AC=AB+AB·ECBC。

【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理

6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。

AB求证：

111。（第21届全苏数学竞赛） ??A1A2A1A3A1A4A3【分析】

A3

A2【评A2注】托勒密定理 A4A4

ABC的BCA1A57． △AEA51边上的高AD

A6A7的延长线交BA6A7外接圆于P，

作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】

【评注】西姆松定理（西姆松线）

8． 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，

ADCFP且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5） 【分析】

C

BC【评注】面积法 9． O为△ABCM点，分别以da、DNNAdc表D示O到CA、AB的距E以Ra、Rb、Rc

FEO到A、B、C的距离。 求证：（1）a·Ra≥b·db+c·dc;

(2) a·Ra≥c·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。

【分析】 A

【评注】FF10．△LOEOG、O

心、重BDCDB求证：

K共线，且HG=2GO。（欧拉线） 【分析】 C【评

HGOABADOGBMOAF内一db、BC、离，表示

AEC面积法

ABC中，H、分别为垂心、外心。 H、G、O三点

CHB注】同一法 11．△ABC

中，AB=AC，AD⊥BC

于D，BM、BN三等分∠ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。 求证：MB//NE。 【分析】 AA

【评注】对称变换

N12．G是△ABC的重心，以NE4ME5AG为弦作圆切BG于

M81CG，延长CG交圆于D。BD72632

求证：AG=GC·GD。 CBD