内容发布更新时间 : 2024/12/25 21:36:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
0n1n?11mn?mmn?11n?1nnmmn?m二项展开式:(a?b)n?Cn; a?Cnab?L?Cnab?L?Cnab?Cnb??Cnabm?0n注:Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项;
n(n?1)LL(n?m?1)n!?1g2g3gLgmm!(n?m)!mnn?mnⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1
nⅢ、组合的性质:C?CCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0rn?2nrr?1rCn?nCn?1;
③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:
?n?①、伴随矩阵的秩:r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1; r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值:③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X);
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述:
①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话)
②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;
9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:
①、m和方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程;
②、n和方程组得未知数个数相同,方程组Ax?b为n元方程; 10. 线性方程组Ax?b的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
?a11x1?a12x2?L?a1nxn?b1????ax?ax?L?ax?b????2nn2①、?211222;
LLLLLLLLLLL???am1x1?am2x2?L?anmxn?bn?a11a12?aa22②、?21?MM??am1am2LLOLa1n??x1??b1??????a2n??x2??b2? ??Ax?b(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,n个未知数)
M??M??M??????amn??xm??bm??x1??b1?????x2?b?an???(全部按列分块,其中???2?); ?M??M?????x?n??bn?③、?a1a2L④、a1x1?a2x2?L?anxn??(线性表出)
⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,L,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,L,?m);
??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,L,?m构成m?n矩阵B??2?;
?M????T???m?含有有限个向量的有序向量组和矩阵一一对应;
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵Am?n和Bl?n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14) 4. 5.
r(ATA)?r(A);(P101例15) n维向量线性相关的几何意义:
???0; ①、?线性相关
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线(平行);
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;
6. 线性相关和无关的两套定理:
若?1,?2,L,?s线性相关,则?1,?2,L,?s,?s?1必线性相关;
若?1,?2,L,?s线性无关,则?1,?2,L,?s?1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r?s(二版P74定理7);
向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)?r(B);(P86定理3) 向量组A能由向量组B线性表示
?AX?B有解;
?r(A)?r(A,B)(P85定理2)
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)(P85定理2推论)
8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl,使A?P1P2LPl;
①、矩阵行等价:A~B?PA?B(左乘,P可逆)?Ax?0和Bx?0同解 ②、矩阵列等价:A~B?AQ?B(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~B?PAQ?B(P、Q可逆); 9. 对于矩阵Am?n和Bl?n:
cr
①、若A和B行等价,则A和B的行秩相等;
②、若A和B行等价,则Ax?0和Bx?0同解,且A和B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 10. 若Am?sBs?n?Cm?n,则:
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)
11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解,测试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解;
②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解; 12. 设向量组Bn?r:b1,b2,L,br可由向量组An?s:a1,a2,L,as线性表示为:(P110题19结论)
(b1,b2,L,br)?(a1,a2,L,as)K(B?AK)
其中K为s?r,且A线性无关,则B组线性无关?r(K)?r;(B和K的列向量组具有相同线性相关
性)
(必要性:Qr?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r;充分性:反证法)
注:当r?s时,K为方阵,可当作定理使用;
13. ①、对矩阵Am?n,存在Qn?m,AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关;(P87) ②、对矩阵Am?n,存在Pn?m,PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关; 14. ?1,?2,L,?s线性相关
?存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks,使得k1?1?k2?2?L?ks?s?0成立;(定义)
?x1???x?(?1,?2,L,?s)?2??0有非零解,即Ax?0有非零解;
?M????xs??r(?1,?2,L,?s)?s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15. 设m?n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为:r(S)?n?r;
16. 若?*为Ax?b的一个解,?1,?2,L,?n?r为Ax?0的一个基础解系,则?*,?1,?2,L,?n?r线性无关;(P111题33结论)
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT(定义),性质:
①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aiTaj???1?0i?ji?j(i,j?1,2,Ln);
②、若A为正交矩阵,则A?1?AT也为正交阵,且A??1; ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:(a1,a2,L,ar)
b1?a1;
[b,a]b2?a2?12gb1
[b1,b1]
LLL
br?ar?[b1,ar][b,a][b,a]gb1?2rgb2?L?r?1rgbr?1; [b1,b1][b2,b2][br?1,br?1]3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A和B等价 ?A经过初等变换得到B;
?PAQ?B,P、Q可逆; ?r(A)?r(B),A、B同型;
②、A和B合同 ?CTAC?B,其中可逆; ?xTAx和xTBx有相同的正、负惯性指数; ③、A和B相似 ?P?1AP?B; 5. 相似一定合同、合同未必相似;
若C为正交矩阵,则CTAC?B?A:B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A为对称阵,则A为二次型矩阵; 7. n元二次型xTAx为正定:
?A的正惯性指数为n;
?A和E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC?E; ?A的所有特征值均为正数; ?A的各阶顺序主子式均大于0;
?aii?0,A?0;(必要条件)
考研概率论公式汇总
1.随机事件及其概率
A????吸收律:A???AA???A A????
A?(AB)?AA?B?AB?A?(AB)
A?(A?B)?A反演律:A?B?AB AB?A?B
?A??ii?1nnAi
i?1?ni?1Ai??Ai
i?1n2.概率的定义及其计算
P(A)?1?P(A)若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)
对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB) 加法公式:对任意两个事件A, B, 有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)
P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?n?P(AA)ij?1?i?j?k?n?P(AAA)???(?1)ijknn?1P(A1A2?An)
3.条件概率
P?BA??
P(AB) P(A)乘法公式 P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)
P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)nn全概率公式 P(A)??P(ABi) ??P(Bi)?P(ABi)
i?1i?1Bayes公式P(BkA)?P(B)P(ABk)P(ABk) ?nk P(A)?P(Bi)P(ABi)i?14.随机变量及其分布
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)分布函数计算
?F(b)?F(a)5.离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1
kkn?k(2) 二项分布 B(n,p)若P ( A ) = p P(X?k)?Cnp(1?p),k?0,1,?,n
* Possion定理limnpn???0 有
n??limCp(1?pn)n??knknn?kk!
k?0,1,2,??e???k(3) Poisson 分布 P(?) P(X?k)?e6.连续型随机变量 (1) 均匀分布 U(a,b)
???kk!,k?0,1,2,?
?0,1??,a?x?b??x?af(x)??b?a F(x)??,
?0,?b?a其他??1?(2) 指数分布 E(?)