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太 原 科 技 大 学
2010/2011学年第一学期《线性代数》期末考试 课程试卷 B 卷
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 总 分
一．选择题 (每题3分，共18分)
1. n阶方阵A满足A2?O，E是n阶单位阵，则 ( ).
(A) E?A?0，但E?A?0； (B) E?A?0，但E?A?0； (C) E?A?0，且E?A?0； (D) E?A?0，且E?A?0. 2. 设矩阵A的秩为r，则A中（ ）
(A) 所有r?1阶子式都不为0 (B) 所有r?1阶子式全为0
(C) 所有r阶子式都不为0 (D) 至少有一个r阶子式不等于0 3. 向量组?1,?2,?,?n (n?2)线性无关的充分必要条件是该向量组中 ( )
(A) 任意两个向量的对应分量不成比例 (B) 任意一个向量不能由其余向量线性表示
(C) 有一个部分组线性无关 (D) 所有向量非零
4. 已知?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解，?1,?2是其导出组AX?0的基础解系，K1,K2是任意常数，则AX?b的通解是（ ）.
11(?1??2) (B) K1?1?K2(?1??2)?(?1??2) 2211(C) K1?1?K2(?1??2)?(?1??2) (D) K1?1?K2(?1??2)?(?1??2)
22(A) K1?1?K2(?1??2)?5 .已知三阶矩阵A的特征值是0，?1，则下列结论不正确的是 .
(A) 矩阵A是不可逆的 (B) 矩阵A的主对角元素之和为0 (C) Ax?0的基础解系由一个向量组成 (D) 1和-1所对应的特征向量是正交的
6. n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 ( ).
(A) A有n个互异特征值 (B) A有n个线性无关的特征向量 (C) A是实对称阵 (D) A的特征向量两两正交.
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二、填空题：（每题3分，共18分）
?101??1?，则20201. 已知A????A?3EA?9E?__________. ????001????
1?12. 已知A?1?1
?1?3?3. 矩阵A??2??0
0112101523，则A41?A4204?A43?A44?___________.
720?11403152??1?1?，其列向量组的一个极大无关组为___________（用?i表示其第i列）.
64??21?1???331?，则A*=___________. ?4044. 已知A?2，且A?1???4???5?1?3??
5. 已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵B?A2?2A?3E, 则B＝___________.
6. 设二次型
22f?x1,x2,x3??2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的，则t的取值范围___________ .
?033???三、设矩阵A??110?，且AX?2X?A，求矩阵X. (13分)
??123???
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2345四、求解行列式的值
34524523(10分) 5234
?x1?3x2?7x3?4x4?3五、求非齐次线性方程组的通解，并写出基础解系. ???2x?1?x2?x4?1 ?3x1?2x2?x3?x4??2
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13分）
（
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?0??1?????六、已知三阶实对称阵A的特征值为?1?2,?2??2, ?3?1,对应的特征向量为?1??1?，?2??0?，求矩阵A.（13分）
?1??0?????
222?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3 为标准形，七、用正交变换化二次型 f?x1,x2,x3??x1给出所用的变换x?Qy，并指出f是
否为正定的. (15分)
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