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第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书

理 苏教版

1.几类函数模型

函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0) kf(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 二次函数模型 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 幂函数模型

2.三种函数模型的性质

函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 单调递增 相对平稳 图象的变化 随n值变化而各有不同 值的比较

【知识拓展】

存在一个x0，当x>x0时，有logax

2.“对勾”函数

形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增， 在[－a，0)和(0，a]上单调递减. (2)当x>0时，x＝a时取最小值2a， 当x<0时，x＝－a时取最大值－2a. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )

(2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x0，使a0

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x(a>0)的增长速度.( √ )

(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )

1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250

解析 设每台原价是a元，则a(1＋40%)·80% ＝a＋270，解得a＝2 250.

2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________. 11

答案 y＝22－x(0≤x≤200)

100

xxaaxxn221111

解析 流速为＝，x分钟可流x，

20010010011

则y＝22－x(0≤x≤200).

100

3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案

p＋q＋－1

2

解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝＋p＋q－1.

4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 答案 3

24－4x2

解析 设隔墙的长度为x(0

2＋18，

∴当x＝3时，y最大.

5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae

－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae

－nt，假设经过5 min，甲桶和

乙桶的水相等，则再过________ min，甲桶中的水只有 L.

8答案 10

解析 由题意可得，5 min时，ae那么aet?ln25－5na11

＝a，n＝ln 2， 25

1a＝a，∴t＝15，即再过10 min，甲桶中的水只有 L. 88

题型一 用函数图象刻画变化过程

例1 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).