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习题8
?8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 解：根据题意，对于A、B两点，
，
x?x1?x????2??1??22???2???而相位和波长之间满足关系：，
?u??12m/sT代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速。
8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，
求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?
xy?Acos[?（t?）??0]u解：（1）设平面波的波动式为，则P点的振动式为：
xyP?Acos[?（t?1）??0]u，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，
?xx?x1?0?1??y?Acos[?(t?)??]uu有：，∴平面波的波动式为：；
xy?Acos[?（t?）??0]u（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则P点的振动式
为：
xyP?Acos[?（t?1）??0]u，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ?xx?x1?0??1??y?Acos[?(t?)??]uu有：，∴平面波的波动式为：。
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；
（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。
解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：
x?ly?Acos[2??（t?）??0]yA?Acos[2??（t?）??0]uuA，则点的振动式：
2??l?0???y?Acos(2??t??)uA题设点的振动式比较，有：，
lxy?Acos[2??（t??）??]uu∴该平面简谐波的表达式为：
（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：
y?Acos[2??（t?ld?ld?）??]?Acos[2??（t?）??]uuu
????2??1??6，?x?2m1t?s8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，3时的波形如图所示，且周期T为2s。
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（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。
解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，则：u??/T?0.2m/s，
2?2?????k??5?T?，，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0)
O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)
1?t?s0.05?0.1cos(??0)3时：yO?0.05，有：3由图形可知： dyO?5??0?0?3，3（舍去） 考虑到此时dt，∴
那么：（1）O点的振动表达式：
yO?0.1cos(?t??3；
))3（2）波动方程为：；
（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)
1?t?scos(??A)?03时：yA?0，有：3由图形可知：
y?0.1cos(?t?5?x??dyA5?7??0?A???A?6（或6） 考虑到此时dt，∴
5?7?yA?0.1cos(?t?)yA?0.1cos(?t?)66∴A点的振动表达式：，或；
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：
?yA?0.1cos(?t?5?xA?)3，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有： 5??7?t???t?5?xA?xA??0.233m63，所以：30。
8-5．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！
?3y?5?10cos(?t??0)。 O由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：
（1）当t?0时，
yOt?0dyO?2.5?10，考虑到：dt?3t?0?0，有：
?0???3，
dyOy?0当t?1时，Ot?1，考虑到：dt，有：
5??yO?5?10?3cos(t?)63； ∴原点的振动表达式：
t?1?0???3??2，
??5?6，
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（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：
?5?124?5?24??k????y?5?10?3cos(t?x?)u60.825，∴6253； 而
?x25???2??k?x???3.27rad?24（3）位相差：。
y?5?10?3cos(5??t?kx?)63
?38-6．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0?10J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
?3解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10J/(s?m)，由I?w?u有：
I9.0?10?3w???3?10?5J/m3u300
?53wmax?2w?6?10J/m；
11uW?w??d2??w?d244? （2）由W?w?V，∴
。
3?438-7．一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率??10Hz。若该媒质的密
3?42800kg/m度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。
1I?u?A2?22解：（1）由：，有：
122I??103?800?（10?4）（2??103）?1.58?105W/m2； 2?42（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10m的总能量为：
W?ISt?1.58?105?4?10?4?60?3.79?103J 。
?3?10?5J/m3??4?(0.14m)2?1m?4.62?10?7J8-8．S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d?5?/4，S2质点的振动比S12?y10?Acost?2ST，且媒质无吸收，超前，设1的振动方程为（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；（2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：（1）如图，以S1为原点，有振动方程：
y10?Acos2?tT，
??S2S1x则波源S1在右侧产生的行波方程为：
y1?Acos(2?2?t?x)T?，
y20?Acos(2??t?)T2，
由于S2质点的振动比S1超前?2，∴S2的振动方程为
设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：
2?2?t?x??)T?，由于波源S2的坐标为5?/4，代入可得振动方程： 2?2?5?2??y20?Acos(t????)y20?Acos(t?)T?4T2比较，有：???2?。 ，与y2?Acos(第 3 页 共 7 页