内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:26:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL), ∴CE=DE,
设CE=x,则BE=20﹣x,BD=25﹣15=10 在Rt△BED中
∴x2+102=(20﹣x)2, ∴x=7.5, ∴CE=7.5.
(3)①当AD=AC时,△ACD为等腰三角形 ∵AC=15, ∴AD=AC=15.
②当CD=AD时,△ACD为等腰三角形 ∵CD=AD, ∴∠DCA=∠CAD, ∵∠CAB+∠B=90°, ∠DCA+∠BCD=90°, ∴∠B=∠BCD, ∴BD=CD,
∴CD=BD=DA=12.5,
③当CD=AC时,△ACD为等腰三角形, 如图1中,作CH⊥BA于点H,
则?AB?CH?AC?BC,
∵AC=15,BC=20,AB=25, ∴CH=12, 在Rt△ACH中,AH∵CD=AC,CH⊥BA, ∴DH=HA=9, ∴AD=18.
综合以上可得AD的长度为15,18,或12.5.
8.(2019秋?泰兴市期末)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E是射线CB上的动点,连接DE,DF⊥DE交射线AC于点F.
9,
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(1)若点E在线段CB上. ①求证:AF=CE.
②连接EF,试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系,并说明理由. (2)当EB=3时,求EF的长.
【分析】(1)①证明△ADF≌△CDE(ASA),即可得出AF=CE;
②由①得△ADF≌△CDE(ASA),得出AF=CE;同理△CDF≌△BDE(ASA),得出CF=BE,在Rt△CEF中,由勾股定理得CE2+CF2=EF2,即可得出结论;
(2)分两种情况:①点E在线段CB上时,求出CE=BC﹣BE=1,由(1)得AF=CE=1,AF2+EB2=EF2,即可得出答案;
②点E在线段CB延长线上时,求出CE=BC+BE=7,同(1)得△ADF≌△CDE(ASA),得出AF=CE,求出CF=BE=3,在Rt△EF中,由勾股定理即可得出答案. 【解答】(1)①证明:∵△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点, ∴∠DCE=45°=∠A,CD∴∠ADC=90°, ∵DF⊥DE, ∴∠FDE=90°, ∴∠ADC=∠FDE, ∴∠ADF=∠CDE, 在△ADF和△CDE中,∴△ADF≌△CDE(ASA), ∴AF=CE;
②解:AF2+EB2=EF2,理由如下: 由①得:△ADF≌△CDE(ASA), ∴AF=CE;
同理:△CDF≌△BDE(ASA), ∴CF=BE,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:CE2+CF2=EF2, ∴AF2+EB2=EF2;
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AB=AD,CD⊥AB,
,
(2)解:分两种情况: ①点E在线段CB上时, ∵BE=3,BC=4, ∴CE=BC﹣BE=1,
由(1)得:AF=CE=1,AF2+EB2=EF2, ∴EF∵BE=3,BC=4, ∴CE=BC+BE=7,
同(1)得:△ADF≌△CDE(ASA), ∴AF=CE, ∴CF=BE=3,
在Rt△EF中,由勾股定理得:CF2+CE2=EF2, ∴EF;
或
.
综上所述,当EB=3时,EF的长为
;
②点E在线段CB延长线上时,如图2所示:
【题组三】
9.(2019秋?镇江期末)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°. (1)如图1,点D、E分别在AB、AC上,则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系?(直接写出答案)
(2)如图2,点D在△ABC内部,点E在△ABC外部,连结BD、CE,则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
(3)如图3,点D、E都在△ABC外部,连结BD、CE、CD、EB,BD与CE相交于H点.已知AB=4,AD=2,设CD2=x,EB2=y,求y与x之间的函数关系式.
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答;
(2)延长BD,分别交AC、CE于F、G,证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的性质得到BD=CE,∠ABD=∠ACE,根据三角形内角和定理得到∠CGF=∠BAF=90°,根据垂
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直的定义解答;
(3)证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的性质得到∠BHC=∠BAC=90°,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:(1)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE, ∴BD=CE,BD⊥CE; (2)BD=CE,BD⊥CE.
理由如下:延长BD,分别交AC、CE于F、G, ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°, ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAE=∠DAE﹣∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∵∠AFB=∠GFC,
∴∠CGF=∠BAF=90°,即BD⊥CE; (3)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°, ∴BCAB=4,DEAD=2,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠CAE=∠DAE+∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∵∠AOB=∠HOC, ∴∠BHC=∠BAC=90°, ∴CD2+EB2
=CH2+HD2+HB2+EH2 =BC2+DE2 =(4
)2+(2
)2=40
∴y=40﹣x.
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10.(2019秋?射阳县期末)在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、
N.
(1)如图①,若∠BAC=110°,则∠MAN= 40 °,若△AMN的周长为9,则BC= 9 .
(2)如图②,若∠BAC=135°,求证:BM2+CN2=MN2;
(3)如图③,∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P,过点P作PH垂直BA的延长线于点H.若AB=5,CB=12,求AH的长.
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AM=BM,NA=NC,根据等腰三角形的性质得到BAM=∠B,∠NAC=∠C,结合图形计算即可;
(2)连接AM、AN,仿照(1)的作法得到∠MAN=90°,根据勾股定理证明结论; (3)连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E,根据线段垂直平分线的性质得到AP=
CP,根据角平分线的性质得到PH=PE,证明Rt△APH≌Rt△CPE得到AH=CE,证明△BPH≌△BPE,得到BH=BE,结合图形计算即可.
【解答】解:(1)∵∠BAC=110°, ∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°, ∵AB边的垂直平分线交BC边于点M, ∴AM=BM, ∴∠BAM=∠B, 同理:NA=NC, ∴∠NAC=∠C,
∴∠MAN=110°﹣(∠BAM+∠NAC)=40°, ∵△AMN的周长为9, ∴MA+MN+NA=9,
∴BC=MB+MN+NC=MA+MN+NA=9, 故答案为:40;9;
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