内容发布更新时间 : 2024/10/1 23:49:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三章 行波法与积分变换法

在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。

§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）

要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。

对于一维波动方程

2?2u2?u?a （3.1） ?t2?x2作如下代换：

???x?at （3.2） ???x?at?利用复合函数微分法则，得

?u?u???u???u?u???? ?x???x???x?????2u??u?u????u?u???(?)?(?)?x2???????x???????x??u?u?u?2???2??????2222 （3.3）

同理有

?2u?u?u?u?u2?2??a(?)?a(?)?t2?????????????a2[?u?u?u?2?]22????????222 （3.4）

将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得

?2u?0 （3.5） ????将（3.5）式对?积分得

?u?f(?)，（f(?)是?的任意可微函数） ??在对此式对?积分得

u(x,t)??f(?)d??f2(?)?f1(x?at)?f2(x?at) （3.6）

其中f1，f2都是任意二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含两个任意函数的解）。

在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数f1，

f2的具体形式。为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长先

的自由横振动。设弦的初始状态为已知，即已知定解条件

?ut?0??(x),???x???? （3.7） ??u?t?0??(x),???x?????t将（3.6）中的函数代入（3.7）中，得

??f1(x)?f2(x)??(x), (3.8) ?

???af1?(x)?f2(x)??(x), (3.9)在（3.9）两端对x积分一次，得

f1(x)?f2(x)?1x ?(?)d??C （3.10）?0a由（3.8）与（3.10）解出f1(x)，f2(x)得

11xC f1(x)??(x)??(?)d??22a?0211xC f2(x)??(x)??(?)d??22a?02把这里确定出来的f1(x)，f2(x)代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在条件（3.7）下的解为

11x?at u(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(?)d? （3.11）

22a?x?at（3.11）式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔（D’Alembert）公式。 现在我们来说明达朗贝尔公式的物理意义。由于达朗贝尔公式是由（3.6）得来的，所以我们只需说明（3.6）式的物理意义。 首先，考虑u2?f2(x?at)的物理意义。我们来说明这样的函数是代表一个沿x轴正方向转播的行波，为了讲清楚这一点，我们不妨考虑一个特例。假定f2(x)的图形如图3.1（a）所示，在t?0时，u2?f(x)；

u2?f(x?a)，u2?f(x?)，在t?时，其图形如图3.1（b）所示；在t?1时，

12a2其图形如图3.1（c）所示；在t?2时，u2?f(x?2a)，其图形如图3.1