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2011年考研数学（三）真题及答案详解

一．选择题

1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则

（A） k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C） k?3,c?4 （D）k?3,c??4

k2．已知f?x?在x?0处可导，且f?0??0，则limx?0x2f?x??2f?x3?x3?

（A）?2f'?0? （B）?f'?0?

(C) f'?0? (D)0 3．设?un?是数列，则下列命题正确的是 （A）若

?un?1??n收敛，则

??un?1?2n?1?u2n?收敛

? （B）若

??un?1?2n?1?u2n?收敛，则?un收敛

n?1 （C）若

?un?1?n收敛，则

??un?1?2n?1?u2n?收敛

? （D）若

??un?12n?1?u2n?收敛，则?un收敛

n?1??40?04．设I??40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是

（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I

5．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵.

?100??100??10?,P??001?,则A?

记P1??1?2?????001???010???1（A）P1P2 1P2 （B）P 1

?1（C）P2P2P1 1 （D）P6．设A为4?3矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为 （A）

?2??322???3???（C）2?k1??3??1??k2??2??1? （D）23?k2??2??1??k3??3??1?

227．设F1?x?,F2?x?为两个分布函数，其相应的概率密度f1?x?,f2?x?是连续函数，则必为概率密度的是

（A）f1?x?f2?x? （B）2f2?x?F1?x?

（C）f1?x?F2?x? （D）f1?x?F2?x??f2?x?F1?x? 8．设总体X服从参数为??k1??2??1? （B）

?2??3?k2??2??1?

???0?的泊松分布，X1,X2,,Xn?n?2?为来自总体的简单随机样本，

1n1n?11X?Xn 则对应的统计量T1??Xi，T2??ini?1n?1i?1n（A）ET1?ET2,DT1?DT2 （B）ET1?ET2,DT1?DT2 （C）ET1?ET2,DT1?DT2 （D）ET1?ET2,DT1?DT2

二、填空题

9．设f(x)?limx(1?3t)，则f?(x)? t?0xtx10．设函数z?(1?)y，则dz? (1,0)y11．曲线tan(x?y?12．曲线y?x?4)?ey在点(0,0)处的切线方程为 x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 T13．设二次型f(x1,x2,x3)?xAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x?Qy的标

准为

2

214．设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?,?;0)，则E(XY)? 22三、解答题

15．求极限limx?01?2sinx?x?1 xln(1?x)

16.已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)?2是f(u,v)的极值，

?2zz?f?(x?y),f(x,y)?。求

?x?y 17．求

(1,1)?arcsinx?lnxdxx

18．证明4arctanx?x?

19．f(x)在[0,1]有连续的导数，f(0)?1，且4??3?0恰有2实根. 3??fDt'(x?y)dxdy???f'(x?y)dxdy

Dt Dt??(x,y)|0?y?t,0?x?t?(0?t?1),求f(x)的表达式。

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