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2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析

2017.12

一. 宝山区

11. 给出函数g(x)??x2?bx，h(x)??mx2?x?4，这里b,m,x?R，若不等式

?g(x)(x?t)恰有 g(x)?b?1?0（x?R）恒成立，h(x)?4为奇函数，且函数f(x)???h(x)(x?t)两个零点，则实数t的取值范围为

【解析】根据题意，?x2?bx?b?1?0恒成立，∴??b2?4(b?1)?0，即b??2.

2???x?2x,x?t?mx?x为奇函数，∴m?0，即f(x)??. 分零点讨论，如图所示，当

??x?4,x?t t?(??,?2)，1个零点；当t?[?2,0)，2个零点；当t?[0,4)，3个零点，当t?[4,??)，

22个零点. 综上，t的取值范围为[?2,0)[4,??).

12. 若n（n?3，n?N*）个不同的点Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)、???、Qn(an,bn)满足：

a1?a2?????an，则称点Q1、Q2、???、Qn按横序排列，设四个实数k、x1、x2、x3

22使得2k(x3?x1)，x3，2x2成等差数列，且两函数y?x2、y?1?3图像的所有交点 xP3(x3,y3)按横序排列，则实数k的值为 2(x2,y2)、P1(x1,y1)、P22x3?x2【解析】根据题意，2k(x3?x1)，x，2x成等差数列，∴k?，x1、x2、x3为

x3?x12322方程x3?3x?1?0的三个解，且x1?x2?x3. 解法一：x3?3x?1?0?4()3?3()?即cos3??x2x21x，∵cos3??4cos3??3cos?，设?cos?， 2213??60??360?n，??20??120?n，n?Z.∵cos140??cos260??cos20?，， 222x3?x24cos220??4cos280?????? ∴x1?2cos140，x2?2cos260，x3?2cos20，k?x3?x12cos20??2cos40?(2cos220??1)?(2cos280??1)cos40??cos160?cos40??cos20????1，即k?1.

cos20??cos40?cos20??cos40?cos20??cos40?解法二：结合图像可知，x1?x2?x3，y2?y1?y3，两函数y?x2、y?1?3消去y可得 x方程x3?3x?1?0（解分别为x1?x2?x3），消去x得方程y3?6y2?9y?1?0（解分别 为y2?y1?y3），设f(x)?x3?3x?1，g(y)?y3?6y2?9y?1?(y?2)3?3(y?2)?1， 根据平移性质可知，函数g(y)图像可由f(x)图像按向量(2,2)平移得到，且f(x)对称中心 为(0,?1)，∴g(y)的对称中心为(2,1)，∴f(x)与g(y)的图像关于(1,0)对称，如图所示，

22x3?x2y?y2?3?1 即AB?CD，∴x3?x1?y3?y2，∴k?x3?x1x3?x1

解法三：利用计算器，求解三次方程x3?3x?1?0，求出x1、x2、x3，代入求出k?1. 16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设： 数列甲：x1、x2、x3、x4、x5为递增数列，且xi?N（i?1,2,????,5）； 数列乙：y1、y2、y3、y4、y5满足yi?{?1,1}（i?1,2,????,5） 则在甲、乙的所有内积中（ ）

A. 当且仅当x1?1，x2?3，x3?5，x4?7，x5?9时，存在16个不同的整数，它们同为奇数

B. 当且仅当x1?2，x2?4，x3?6，x4?8，x5?10时，存在16个不同的整数，它们同为偶数

C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为?15、?13、?11、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A、C选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B选项，所以选D.

*二. 徐汇区

(?1)n?111. 若不等式(?1)?a?3?对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

n?111【解析】当n为奇数，不等式为?a?3?，即a??3?对一切奇数恒成立，

n?1n?1n∵?3?∵3?11，对一切偶数恒成立， ??3，∴a??3；当n为偶数，不等式为a?3?n?1n?11188，∴a?；综上所述，a的取值范围是[?3,). ?3?n?12?13312. 已知函数y?f(x)与y?g(x)的图像关于y轴对称，当函数y?f(x)与y?g(x)在区 间[a,b]上同时递增或同时递减时，把区间[a,b]叫做函数y?f(x)的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数y?|2x?t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是

【解析】结合图像，y?|2x?t|的零点x?log2t应满足log2t?[?1,1]，解得t?[,2].

12

16. 如图，棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1，E为CC1的中点，点P、Q分别为面

A1B1C1D1和线段B1C上动点，求?PEQ周长的最小值（ ）

A. 22 B.

10 C. 11 D. 12

【解析】作PG?B1C1，取BC的中点F，∴QE?QF， 作E关于B1C1的对称点H，∴GH?GE，∴PQ?QE?

PE?GQ?QF?GE?GQ?QF?GH?FH?10 所以选B.

三. 普陀区

11. 已知正三角形ABC的边长为3，点M是?ABC所在平 面内的任一动点，若|MA|?1，则|MA?MB?MC|的取值 范围为

【解析】根据题意，作出示意图

|MA?MB?MC|?|MA?MA?AB?MA?AC|

?|3MA?AB?AC|?|3MA?AD|，|MA|?1，|AD|?3

当MA与AD反向时，有最小值0，当MA与AD同向时， 有最大值6，所以|MA?MB?MC|的取值范围为[0,6].