内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:56:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

S?(1)?13?12?2?13?b?12?c?1?1?S?(1)，

即：b?c?1(1)

''一阶导数连续： S?(1)?3?12?2?1?6?12?2?b?1?c?S?(1)，

即：2b?c??1(2) 解方程组（1）和（2），得b??2,c?3，即

函数值连续：

导数亦连续。

?x3?x20?x?1 S(x)??321?x?2?2x?2x?3x?1''''由于S?所以S(x) 在x=1节点的二阶(1)?3?2?1?2?6?2?1?2?2?S?(1)，

2、 已知函数y?1 的一组数据，x0?0,x1?1,x2?2和y0?1,y1?0.5,y2?0.2，21?x（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得

S1(x)?x?x0x?x1x?1x?0y0?y1??1??0.5??0.5x?1；

x0?x1x1?x00?11?0x?x2x?x1x?2x?1y1?y2??0.5??0.2??0.3x?0.8

x1?x2x2?x11?22?11?0.30769230769?，而 S2(1.5)??0.3?1.5?0.8?0.35，21?1.5

S2(x)?（2）f(1.5)?实际误差为：|f(1.5)?S2(1.5)|?0.0423??0.05。

由f(1)?2x(x)?,22(1?x)f(2)?2(1?3x2)(x)?,23(1?x)f(3)24x(1?x2),可(x)?24(1?x)知M2?f(2)(1)?0.5，则余项表达式

M|f(2)(?)|R(x)?|(x?1)(x?2)|?2?0.52?0.54?0.0625?0.5

2!2!1.4 曲线拟合

1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：

?2x?4y?11?3x?5y?3? ??x?2y?6??2x?y?7 Q(x,y)?(2x?4y?11)2?(3x?5y?3)2?(x?2y?6)2?(2x?y?7)2，

【解】 构造残差平方和函数如下：

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

?Q(x,y)?0： 6x?y?17?x?Q(x,y)?0： ?3x?46y?48?y解方程组（1）和（2），得

(1)， (2)，

6?48?3?17?1.24176

273

x?46?17?48?3.04029,273y?2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如y?a?bx2 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令X?x，则y?a?bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得

555?25a?b?Xi?5a?b?xi??yi(1)??i?1i?1i?1?555555?a?Xi?b?Xi2?a?xi2?b?xi4??Xiyi??xi2yi?i?1i?1i?1i?1i?1?i?12 ；

(2) 依据上式中的求和项，列出下表

xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi (=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 ∑

157 271.4 5327 7277699 Xi yi (=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得

5a0?5327b?271.4??b?369321.5?5327a0?7277699a?(1)(2)

271.4?7277699?369321.5?53277791878.1??0.97258；

5?7277699?5327?532780115665?369321.5?5327?271.4400859.7b???0.05004；

5?7277699?5327?53278011566即：y?0.97258?0.05004x。

2

2.1 机械求积和插值求积

1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：

(1)?f(x)dx?A0f(?h)?A1f(0)?A2f(h)；

?h1h113(2)?f(x)dx?A0f()?A1f()?A2f()；

042411(3)?f(x)dx?f(0)?A0f(x0)。

04【解】 （1）令f(x)?1,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组：

?(1)?A0?A1?A2?2h?(2) ??A0?A2?0?2A?A?h(3)2?03?hh4h 解得：A0?A2?,A1?h，即：?f(x)dx?[f(?h)?4f(0)?f(h)]，可以

?h333验证，对f(x)?x3公式亦成立，而对f(x)?x4不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令f(x)?1,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组：

(1)?A0?A1?A2?1?(2) ?A0?2A1?3A2?2?3A?12A?27A?16(3)12?01211113,A1??，即：?f(x)dx?[2f()?f()?2f()]，可以

0333424验证，对f(x)?x3公式亦成立，而对f(x)?x4不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

解得：A0?A2?3?A??04（3）令f(x)?1,x时等式精确成立，可解得：?

2?x0?3?11322即： ?f(x)dx?f(0)?f()，可以验证，对f(x)?x公式亦成立，而对

0443f(x)?x3不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

1132、（p.95，习题6）给定求积节点x0?,x1?, 试构造计算积分I??f(x)dx的插值型

044求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

311x?x11314?dx??2?(x2?x)?1； A0???dx??0x?x013240201?44x?

111x?x111204?dx?2?(x?x)?1； A1???dx??0x?x031240210?44x?插值求积公式：

1?

0f(x)dx??Akf(xk)?k?0n1113f()?f() 2424①当f(x)?1，左边=

?10111f(x)dx?1；右边=?1??1?1；左=右；

221f(x)dx?x221

②当f(x)?x，左边=

?0?0111131；右边=????；左=右； 224242

③当f(x)?x2，左边=

?101119511???；右边=?左≠右； f(x)dx?x3?；

216216163031故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2 梯形公式和Simpson公式

1、（p.95，习题9）设已给出f(x)?1?e?xsin4x的数据表，

x f(x) 0.00 1.000 00 0.25 1.655 34 10.50 1.551 52 0.75 1.066 66 1.00 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I?【解】 （1）用复化梯形法：

?0f(x)?dx的近似值。

b?a1??0.25n4n?1n?1hhT5??[f(xk)?f(xk?1)]?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?02k?10.25T5??{f(0.00)?2?[f(0.25)?f(0.50)?f(0.75)]?f(1.00)}

2T5?0.125?[1.00000?2?(1.65534?1.55152?1.06666)?0.72159]a?0,b?1,n?5,h?T5?1.28358

（2）用复化辛普生法：

a?0,b?1,n?2,h?n?1b?a1??0.5n2n?1n?1hhS2??[f(xk)?4f(x1)?f(xk?1)]?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]k?k?6k?06k?0k?1220.5?{f(0.00)?4?[f(0.25)?f(0.75)]?2?f(0.50)?f(1.00)}61S2??[1.00000?10.888?3.10304?0.72159]?1.3093912S2?

2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分I?1x?10?5，，为使截断误差不超过edx?021问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】（1）用复化梯形法， a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''(x)?ex，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：

(b?a)3(1?0)3|RT|?|I?Tn|?maxf''(?)?e； 2312n12n依题意，要求|RT|?1?10?5，即 2e1e?105?52??10?n??212.849，可取n?213。 22612n（2）用复化辛普生法， a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''''(x)?ex，截断误差表达式为：

(b?a)5(1?0)5e； |RS|?|I?Sn|?maxf''''(?)?e?444180(2n)2880n2880n依题意，要求|RS|?1?10?5，即 2e1e?105?54??10?n??3.70666，可取n?4，划分8等分。

14402880n42

2.3 数值微分

1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

1[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]2h1f'(x1)?[?f(x0)?f(x2)]2h1f'(x2)?[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]2hf'(x0)?(51)(52)(53)

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

f(n?1)(?k)nR(xk)?f'(xk)?p'(xk)???(xk?xj)

(n?1)!j?0j?k由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n?2,h?x1?x0?x2?x1，则

f(2?1)(?0)2f'''(?0)f'''(?0)2R(x0)???(x0?xj)?(x0?x1)(x0?x2)?h

(2?1)!3!3j?1