内容发布更新时间 : 2024/10/22 4:48:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§3.1.1空间向量及其加减运算

学习目标

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备

（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)当λ＞0时，λa与A. ；

当λ＜0时，λa与A. ； 当λ＝0时，λa＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：空间向量的相关概念

r问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间

向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，

uuuruuur AB? ， OB? ，

试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求

rrrra?b,a?b.a.b

uuuruuuruuuruuurAC5?,则AC? AB, BC? AB. CB2

2. 点C在线段AB上，且

反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a；

⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； ⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb． ※ 典型例题

例1 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

uuuruuuur⑴AB?BC；

uuuruuuuruuuur⑵AB?AD?AA'；

uuuruuuur1uuuur⑶AB?AD?CC'

2ruuuuruuuur1uuu ⑷(AB?AD?AA')．2

uuuuruuuuruuuuruuuruuuruuur'''变式：在上图中，用AB,AD,AA表示AC,BD和DB'.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式： ⑴ AB?BC?CA;

uuuruuuruuuruuuuurAB?MB?BO?OM; ⑵uuuruuuruuuruuur⑶AB?AC?BD?CD;

uuuruuuruuur⑷ OA?OD?DC.

uuuruuuruuur

变式：化简下列各式：

uuuruuuruuuruuur⑸ OA?OC?BO?CO;

uuuruuuruuur⑹ AB?AD?DC;

uuuruuuruuuuruuur⑺ NQ?QP?MN?MP.

小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. ※ 动手试试

练1. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D', M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式： ⑴ AA1?A1B1;

r1uuuur1uuuu⑵ A1B1?A1D1;

22r1uuuur1uuuu22uuuruuuruuuuruuuuruuur⑷ AB?BC?CC1?C1A1?A1A.

uuuruuuur⑶ AA1?A1B1?A1D1

uuur

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 空间向量基本概念；

2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律