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绵阳市高中2011级（2014届）第二次诊断性考试
数 学（理科）
2014.1.16
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(RA)∩B=
A．?
B．{-3，-2} D．{-2，0，2}
开始 输入x B．-1 D．1
是 x>1？ 否 y=x-1 y=log2x 输出y 结束 C．{-3}
2．设i是虚数单位，复数
A．-i C．i
10的虚部为 3?i
3．执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是
A．3 C．4
B．
1 4D．2
4．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是
A．l?α，m?β，且l⊥m
B．l?α，m?β，n?β，且l⊥m，l⊥n D．l?α，l//m，且m⊥β
C．m?α，n?β，m//n，且l⊥m
5．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆
数学（理科）试题第 1 页（共4页）
内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 A．8+C．8+
π 3 B．8+
2π 3正视图
侧视图
8π16π D．8+
336．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线 y2x??1的渐近线截得的弦长为3，则圆C的方程为
32A．x2+(y-1)2=1 C．x2+(y-
B．x2+(y-3)2=3 D．x2+(y-2)2=4
俯视图
323)= 24?2x?y?2?0，?7．已知O是坐标原点，点A(?1，上的一个1)，若点M(x，y)为平面区域?x?2y?4?0，?3x?y?3?0?动点，则|AM|的最小值是 A．35 5B．2 C．5 D．13
8．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为
B．1320 C．1140
????????????9．已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA?yOB(x，y∈R)，则
A．x+y≤-2 C．x+y<-1
B．-2≤x+y<-1 D．-1 A．1860 D．1020 10．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lga 数为50个，当ab取最大可能值时，a?b= A．21 B．6 C．17 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．tan300o=_______． 12．已知直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_______． 13．若(x?ax2)6展开式的常数项是60，则常数a的值为 ． 数学（理科）试题第 2 页（共4页） x2y214．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆2?2?1(a?b?0)上的任意一点，若∠PF1F2=α， ab∠PF2F1=β，且cosα=35，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为 ． 5515．f(x)是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]?D，使函数f(x)在[m，n]上的值 域恰为[km，kn]，则称函数f(x)是k型函数．给出下列说法： ①f(x)?3?4不可能是k型函数； x(a2?a)x?123②若函数y?是1型函数，则的最大值为； (a?0)n?m23ax1③若函数y??x2?x是3型函数，则m??4，n?0； 2④设函数f(x)?x3?2x2?x(x≤0)是k型函数，则k的最小值为其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知向量a =(sinx，2cosx)，b=(2sinx，sinx)，设函数f(x)=a?b． （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若将f(x)的图象向左平移 4． 9π个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区6π7π间[，]上的最大值和最小值． 121217．（本题满分12分） 已知首项为 1的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a32成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn?an?log2an，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式18．（本题满分12分） 据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表： 数学（理科）试题第 3 页（共4页） Tn?21≥的最大n值． n?216 调查人群 态度 应该取消 2100人 600人 应该保留 120人 x人 无所谓 y人 z人 在校学生 社会人士 已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？ （Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望． 19．（本题满分12分） 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90o，AE⊥平面ABCD，EF//CD， BC=CD=AE=EF= 1AD=1． 2E （Ⅰ）求证：CE//平面ABF； （Ⅱ）求证：BE⊥AF； （Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角 F A D π？若存在，求出CM的6长；若不存在，请说明理由． E-MD-A的大小为20．（本题满分13分） B C 已知椭圆C的两个焦点是(0，-3)和(0，3)，并且经过点(在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F． （Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程； 3，1)，抛物线的顶点E2（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求AG?HB的最小值． 21．（本题满分14分） a2xxe． 2（Ⅰ）若f(x)是[0，??)上是增函数，求实数a的取值范围； 已知函数f(x)?ex?（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式f(x)≤x+1对x∈R恒成立； （Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得f(x0)>x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由． 数学（理科）试题第 4 页（共4页） 绵阳市高2011级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． BDCDA AACCB 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 5 15．②③ 7三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．?3 12．1 13．4 14．16．解：（Ⅰ）f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =2?=2sin(2x- 1?cos2x+sin2x 2?)+1， ???????????? 3分 43?????由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 824283??∴ f(x)的递增区间是[-+kπ，+kπ]( k∈Z)． ?????????? 6分 88???)-]+1=2sin(2x+)+1，???? 9分 64127?5????由≤x≤得≤2x+≤， 12412412（II）由题意g(x)=2sin[2(x+ ∴ 0≤g(x)≤2+1，即 g(x)的最大值为2+1，g(x)的最小值为0． ? 12分 1 17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1= ， 2 又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列， ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3， 变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3， 311 ∴ q= +q2，解得q=1或q= ， ????????????????4分 2221又由{an}为递减数列，于是q= ， 2 1 ∴ an=a1qn?1=( )n． ????????????????????6分 21 （Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?( )n， 2 1121n?11n∴ Tn??[1?+2（?）+?+?n?1?（?）?n（?）]， 2222数学（理科）试题第 5 页（共4页）