内容发布更新时间 : 2024/5/6 9:31:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1121n1n?1于是Tn??[1（?）+?+?n?1?（?）?n（?）]，
222211?[1?()n]111112?n?(1)n?1，两式相减得：Tn??[+()2+?+()n?n?()n?1]=?2
12222221?21∴ Tn??n?2??()n?2．
2Tn?21n1?()≥，解得n≤4， n?2216∴ n的最大值为4． ??????????????????????12分
∴
18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，
120?x=0.05，解得x=60． ??????????????????2分 3600∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ??? 4分
360
∴ 应在“无所谓”态度抽取720× =72人． ?????????? 6分
3600
∴
（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，
12060?6=4人，社会人士为?6=2人， 180180于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， ?????????????? 8分
∴ 在所抽取的6人中，在校学生为
122130C4C21C4C23C4C21P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=???， 333C65C65C65即ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 P 1 53 51 5 ??????? 10分
131+2×+3×=2． ????????????????? 12分 55519．（I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，z ∴ Eξ=1×
连结EG交AF于H，连结BH，BG， ∵ EF∥CD且EF=CD， ∴ AG∥CD，
即点G在平面ABCD内． 由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，
数学（理科）试题第 6 页（共4页） E HHF A D y x G B C ∴ 四边形AEFG为正方形，
CDAG为平行四边形， ???????????????????? 2分 ∴ H为EG的中点，B为CG中点， ∴ BH∥CE，
∴ CE∥面ABF．???????????????????????? 4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG中，∠ADC=90o， ∴ BG⊥AG．
又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG， ∴ BG⊥面AEFG，
∴ BG⊥AF．?????????????????????????? 6分 又∵ AF⊥EG， ∴ AF⊥平面BGE，
∴ AF⊥BE．?????????????????????????? 8分 （Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y0，0)，
?????????2，?1)，DM?(1，y0?2，0)， ∴ ED?(0，设面EMD的一个法向量n?(x，y，z)， ?????n?ED?2y?z?0，?则????? 令y=1，得z?2，x?2?y0， ???n?DM?x?(y0?2)y?0，∴ n?(2?y0，，12)．?????????????????????? 10分
????又∵ AE?面AMD，
????0，1)为面AMD的法向量， ∴ AE?(0，????∴ |cos
ab则由题意得 c=3，2a?∴ a=2，b2?a2?c2=1，
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33?(1?3)2??(1?3)2?4， 44y2∴ 椭圆C的标准方程为?x2?1． ??????????????? 4分
4∴ 右顶点F的坐标为(1，0)．
设抛物线E的标准方程为y2?2px(p?0)， ∴
p?1，2p?4， 2∴ 抛物线E的标准方程为y2?4x． ???????????????? 6分
1（Ⅱ）设l1的方程：y?k(x?1)，l2的方程y??(x?1)，
kA(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)， ?y?k(x?1)，由?2 消去y得：k2x2?(2k2?4)x?k2?0， ?y?4x，∴ x1+x2=2+
4，x1x2=1． 2k1??y??(x?1)，由? 消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0， k2??y?4x，∴ x3+x4=4k2+2，x3x4=1，????????????????????9分 ????????????????????????∴ AG?HB?(AF?FG)?(HF?FB)
=AF?HF?AF?FB?FG?HF?FG?FB =|AF|·|FB|+|FG|·|HF| =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|
=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+
42 ?4k2k4?4k2 2k ≥8+2 =16．
41时，AG?HB有最小值16．????????13分 ?4k2即k=±2ka21．解：（I）∵x?[0，??)时，f(x)?ex(1?x2)，
2当且仅当
a∴ f?(x)?ex(?x2?ax?1)．
2由题意，f?(x)≥0在[0，??)上恒成立，
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当a=0时，f?(x)?ex>0恒成立，即满足条件．
当a≠0时，要使f?(x)≥0，而ex>0恒成立，
a故只需?x2?ax?1≥0在[0，??)上恒成立，即
2?a??0，??2解得a<0． ?a???02?a?0?1?0，??2综上，a的取值范围为a≤0．?????????????????? 4分 （Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为ex-①在x≥0时，要证明ex-只需证ex≤
a2xxe≤x+1． 2a2xxe≤x+1成立， 2a2xax?1xe?x?1，即证1≤x2?x， ① 22e1?ex?(x?1)exxa2x?1令g(x)?x?x，得g?(x)?ax?， ?ax?(ex)2ex2e整理得g?(x)?x(a?∵ x≥0时，
1)， ex1≤1，结合a≥1，得g?(x)≥0， ex∴ g(x)为在[0，??)上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．
②在x≤0时，要使ex-只需证ex≤
a2xxe≤x+1成立， 2a2?xaxe?x?1，即证1≤x2e?2x?(x?1)e?x， ② 22ax2?2x令m(x)?e?(x?1)e?x，得m?(x)??xe?2x[ex?a(x?1)]，
2而?(x)?ex?a(x?1)在x≤0时为增函数， 故?(x)≤?(0)?1?a≤0，从而m?(x)≤0，
∴ m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证． 综上所述，原不等式ex-
a2xxe≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立．?10分 2a2x0x0e?x0?1， 2（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即ex0?数学（理科）试题第 9 页（共4页）
2ax0x?1变形为?0x0?1?0， ③
2eax2x?1要找一个x0>0使③式成立，只需找到函数t(x)??x?1的最小值，满足
2et(x)min?0即可．
∵ t?(x)?x(a?1)， ex1，则x=-lna，取x0=-lna， a在0< x <-lna时，t?(x)?0，在x >-lna时，t?(x)?0，
令t?(x)?0得ex?即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数， ∴ 当x=-lna时，t(x)取得最小值t(x0)?a(lna)2?a(?lna?1)?1 2a下面只需证明：(lna)2?alna?a?1?0在0?a?1时成立即可．
2又令p(a)?a(lna)2?alna?a?1， 21则p?(a)?(lna)2≥0，从而p(a)在(0，1)上是增函数，
2a则p(a)?p(1)?0，从而(lna)2?alna?a?1?0，得证．
2于是t(x)的最小值t(?lna)?0，
因此可找到一个常数x0??lna(0?a?1)，使得③式成立．??????14分
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