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所属学科：理科数学

论文题目：

新课程中求简单递推数列的通项公式的几种方法

单位：株洲南方中学

姓名：邓小嘉

新课程中求简单递推数列的通项公式的几种方法

新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。

一．an?f(n)?an?1 (n?N*,f(n)为等差数列或等比数列的通项。）

这类数列的递推关系是f(n)不是一个常数，而是一个等差数列或等比数列通项；这在一定程度上增加了问题的难度。通常这类问题仍可用等差或等比数列的累加解题,求其通项。

例1． 数列?an? 满足an?1?an?2n 且 a1?1 求通项公式 。 解：? an?1?an?2n

? an?1?an?2n

a2?a1?2?1a3?a2?2?2 ? a4?a3?2?3??????an?an?1?2?(n?1)(n?1)[1?(n?1)] 以上各式相加得：an?a1?2??n(n?1)

2 ? an?a1?n(n?1)?n2?n?1

变式练习1：数列?an?满足an?1?an?3n且 a1?1 求通项公式 。

二．an?pan?1?b(n?N*,p?1,b,c为非零常数）。

这类数列的递推关系是an与an?1之间的一次函数关系（一次项系数不为1）时，数列?an?既不是等差数列，又不是等比数列。通常用待定系数法；令an???p(an?1??) 与

an?pan?1?b

比较，得

??bp?1。于是

bban??p(an?1?)

p?1p?1令 bn?an?原数列

b ，则bn?pbn?1 ；数列?bn? 为等比数列。于是将p?1?a?通项公式的求解问题转化为等比数列求通项的问题。

n例2． 已知数列?an?中，a1?1,an?3an?1?1(n?2)求?an?的通项

公式。

解：? an?3an?1?1(n?2) 设 an???3(an?1??)

展开得：an?3an?1?2? 与an?3an?1?1 比较 得 ??111 ? an??3(an?1?)

2221?113?a?? 数列 ?n?是首项为a1??1?? ，公比为3的等比数

2?222?列 ? an?13n?1??3 2231? an??3n?1?

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