内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:58:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
不难证明 AP=AM,从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)
=KC′2-KB′2. ② 由②即得①,命题得证.
例2.A、B、C三点共线,O点在直线外,O1,O2,O3分别为△OAB, △OBC,△OCA的外心.求证:O,O1,O2,O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克)
分析:作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB,O1O3垂直平分OA. 1观察△OBC及其外接圆,立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外
2接圆,
1立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.由∠OO2O1=∠OO3O1?O,O1,O2,O3共
2圆.
利用对角互补,也可证明O,O1,O2,O3四点共圆,请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段
这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等
例3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AB>CD,K,M分别在AD,BC上, ∠DAM=∠CBK. 求证:∠DMA=∠CKB. 分析:易知A,B,M,K四点共圆.连接KM,
有∠DAB=∠CMK.∵∠DAB+∠ADC=180°, ∴∠CMK+∠KDC=180°.
故C,D,K,M四点共圆?∠CMD=∠DKC. 但已证∠AMB=∠BKA, ∴∠DMA=∠CKB. (2)证线垂直
例4.⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同). △ABC 外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°. 分析:这道国际数学竞赛题,曾使许多选手望而却步.其实,只要把握已知条件
和图形特点,借助“四点共圆”,问题是不难解决的.
连接OC,OK,MC,MK,延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=
∠BMK. 而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK, ∴∠COK+∠CMK=180°?C,O,K,M四点共圆.
在这个圆中,由 OC=OK? OC=OK?∠OMC=∠OMK. 但∠GMC=∠BMK, 故∠BMO=90°. (3)判断图形形状
例5.四边形ABCD内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC的内心依次记
为IA,IB,IC,ID.试证:IAIBICID是矩形.
11分析:连接AIC,AID,BIC,BID和DIB.易得∠AICB=90°+∠ADB=90°+
22∠ACB=∠AIDB?A,B,ID,IC四点共圆.
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同理,A,D,IB,IC四点共圆.此时
1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC,
21∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC,
211∴∠AICID+∠AICIB=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-×180°=270°.故∠
22IBICID=90°.
同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算
例6.正方形ABCD的中心为O,面积为1989㎝2.P为正方形内一点,且∠OPB=45°,PA:PB=5:14.则PB=__________
分析:答案是PB=42㎝.怎样得到的呢?连接OA,OB.易知O,P,A,B
四点共圆,有∠APB=∠AOB=90°. 故PA2+PB2=AB2=1989.
由于PA:PB=5:14,可求PB. (5)其他
例7.设有边长为1的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大
的和一个面积最小的,并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978,全国高中联赛)
分析:设△EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形,由于正三角形的三个顶
点至少必落在正方形的三条边上,所以不妨令F,G两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG的高EK,易知E,K,G,D四点共圆?∠KDE=∠KGE=60°.同理,∠KAE=60°.故△KAD也是一个正三角形,K必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长, 当KF丄AB时,边长为1,这时边长最小,而面积S=
3也最小. 4当KF通过B点时,边长为2·2?3,这时边长最大,面积S=23-3也最大. 例8.NS是⊙O的直径,弦AB丄NS于M,P为ANB上异于N的任一点,PS交AB于R,PM的延长线交⊙O于Q.求证:RS>MQ.
分析:连接NP,NQ,NR,NR的延长线交⊙O于Q′.连接MQ′,SQ′. 易证N,M,R,P四点共圆,从而,∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=
∠SNQ.
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称?MQ′=MQ.
又易证M,S,Q′,R四点共圆,且RS是这个圆的直径(∠RMS=90°),
MQ′是一条弦(∠MSQ′<90°),故RS>MQ′.但MQ=MQ′,所以,RS>MQ.
练习题
1.⊙O1交⊙O2 于A,B两点,射线O1A交⊙O2 于C点,射线O2A 交⊙O1 于D点.求证:点A是△BCD的内心.
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(提示:设法证明C,D,O1,B四点共圆,再证C,D,B,O2 四点共圆,从而知C,D,O1,B,O2五点共圆.)
2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1,A2;同样得到B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2.
(提示:设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A,B,A1,C四点共圆;再证A,A2,B,C四点共圆,从而知A1,A2都是△ABC的外接圆上,并注意∠A1AA2=90°.) 3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1,M2,M3(互不重合).求证:△M1M2M3也是正三角形.
4.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,P是AB上的点,过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证:PD丄QD. (提示:证B,Q,E,P和B,D,E,P分别共圆)
5.AD,BE,CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1,从B引FD的垂线l2,从C引DE的垂线l3.求证:l1,l2,l3三线共点.(提示:过B作AB的垂线交l1于K,证:A,B,K,C四点共圆)
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交
AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证:P′点在△ABC外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析:由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP =NC,故点M是△P′BP的外心,
11点N是△P′PC的外心.有 ∠BP′P=∠BMP=∠BAC,
2211 ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而,P′点与A,B,C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C,显然还有 P′B:P′C=BP:PC.
例2.在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以△APS,△BQP,
△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
分析:设O1,O2,O3是△APS,△BQP,△CSQ的外心,作出六边形
O1PO2QO3S后再由外心性质可知
∠PO1S=2∠A, ∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,
同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
111 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K=(∠O2O1S+∠SO1K)=(∠O2O1S+
222∠PO1O2)
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1∠PO1S=∠A; 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定
比2:1及中线长度公式,便于解题.
例3.AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在△PAD,△
PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析:设G为△ABC重心,直线PG与AB,BC相交.从A,C,D,E,F分别
作该直线的垂线,垂足为A′,C′,D′,E′,F′. 易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′, ∴EE′=DD′+FF′. 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三角形相似.其逆亦真.
分析:将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G
为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF. (1)a2,b2,c2成等差数列?△∽△′. 若△ABC为正三角形,易证△∽△′.
12a2?2b2?c2, 不妨设a≥b≥c,有 CF=212c2?2a2?b2, BE=212b2?2c2?a2. AD=2 =
将a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得 CF=
3c. 233a,BE=b,22AD=
∴CF:BE:AD =
333a:b:c =a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2,b2,c2成等差数列.
当△中a≥b≥c时, △′中CF≥BE≥AD.
S?'CF2
∵△∽△′, ∴=().
aS? 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
3”,有4- 19 -
S?'3=. S?4CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.
4a三、垂心
三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.
例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为
△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.
分析:连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由△A2A3A4知
A2H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4;
sin?A2A3H1 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2. 易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1 A1H2,
故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点
成中心对称. 同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.
故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.
例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆
心的⊙H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2. 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.
分析:只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b,AB=c,△ABC外
接圆半径为R,⊙H的半径为r. 连HA1,AH交EF于M. AA12=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2), ①
11AH1)2-(AH-AH1)2 22 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
2
=cosA·bc-AH, ②
AH 而=2R?AH2=4R2cos2A,
sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③
又AM2-HM2=(
有
1b2?c2?a2AA=r+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.
22bc212
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