内容发布更新时间 : 2024/12/25 14:03:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（2），
②﹣①×2得：3x=0，即x=0， 把x=0代入①得：y=，
则方程组的解为；
（3）去分母得：3x﹣3﹣2x﹣8＞﹣12， 移项合并得：x＞﹣1； （4）
，
由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 则不等式组的整数解为﹣1，0，1．
17．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：AC⊥BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先通过等边对等角得到∠CBD=∠CDB，即BC=CD，证明△ABC≌△ADC，得点B和D关于AC对称，所以AC⊥BD． 【解答】证明：∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB． ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠CBD=∠CDB． ∴BC=CD．
则AB=AD，∠ABC=∠ADC，BC=CD， ∴△ABC≌△ADC． ∴∠BAC=∠DAC． 又AB=AD， ∴AC⊥BD．
18．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离．
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【考点】角平分线的性质．
【分析】根据题意求出CD的长，根据角平分线的性质得到答案． 【解答】解：∵BD：DC=9：7，BC=64， ∴CD=
=28，
∵AD为角平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=28．
答：D到AB的距离为28．
19．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4．
20．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
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（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC，
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∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．
填空题（保留必要过程）（每小题3分，共计9分） 21．如图，在△ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q，若∠BAC=100°，则∠PAQ= 20 ；若∠BAC+∠PAQ=150°，则∠PAQ= 40° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP=BP，AQ=CQ，再根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，然后代入数据进行计算即可得解．根据∠BAC+∠PAQ=150°，可得∠1+∠2+2∠
PAQ=150°①，再由三角形内角和为180°可得∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°②，然后②﹣①得③，再①﹣③可得答案．
【解答】解：∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线， ∴AP=BP，AQ=CQ， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°﹣100°=80°， ∴∠1+∠2=80°，
∴∠PAQ=100°﹣80°=20°； ∵∠BAC+∠PAQ=150°，
∴∠1+∠2+2∠PAQ=150°，①
∵∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°，② ∴②﹣①得：
∠B+∠C﹣∠PAQ=30°，③ ∵∠1=∠B，∠2=∠C，
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∴①﹣③得：∠PAQ=40°， 故答案为：40°．
22．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD= 60 度．
【考点】正方形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠AFE，∠BFE的度数，再根据外角的性质即可求得答案．
【解答】解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°， ∴∠CBE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形 ∴BC=BE，
∴∠BEC=15°，
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°， ∴∠BFE=60°，
在△CBF和△ABF中，
，
∴△CBF≌△ABF（SAS）， ∴∠BAF=∠BCE=15°，
又∠ABF=45°，且∠AFD为△AFB的外角， ∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°． 故答案为60．
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