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高等数学教案 §12 微分方程

第七章：微分方程

主讲-----姜进进

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)?f(x)， y???f(x,y?)和y???f(y,y?) 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程y(n)?f(x)， y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程

高等数学教案 §12 微分方程

§7? 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映? 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究? 因此如何寻找出所需要的函数关系? 在实践中具有重要意义? 在许多问题中? 往往不能直接找出所需要的函数关系? 但是根据问题所提供的情况? 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式? 这样的关系就是所谓微分方程?含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。 微分方程建立以后? 对它进行研究? 找出未知函数来? 这就是解微分方程?

例1 一曲线通过点(1? 2)? 且在该曲线上任一点M(x? y)处的切线的斜率为2x? 求这曲线的方程?

解 设所求曲线的方程为y?y(x)? 根据导数的几何意义? 可知未知函数y?y(x)应满足关系式(称为微分方程)

dy?2x? (1) dx此外? 未知函数y?y(x)还应满足下列条件?

x?1时? y?2? 简记为y|x?1?2? (2) 把(1)式两端积分? 得(称为微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C? (3) 其中C是任意常数?

把条件“x?1时? y?2”代入(3)式? 得 2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)? y?x2?1?

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶? 当制动时列车获得加速度?0?4m/s2? 问开始制动后多少时间列车才能停住? 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? 根据题意? 反映制动阶段列车运动规律的函数s?s(t)应满足关系式

?d2s??0.4 ? (4)

dt2此外? 未知函数s?s(t)还应满足下列条件?

高等数学教案 §12 微分方程

t?0时? s?0? v?ds?20? 简记为s|=0? s?|=20? (5)

t?0t?0

dt 把(4)式两端积分一次? 得 v?ds??0.4t?C? (6)

1dt再积分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2? (7) 这里C1? C2都是任意常数? 把条件v|t?0?20代入(6)得 20?C1?

把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20? (8) s??0?2t2?20t? (9)

在(8)式中令v?0? 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t?20?50(s)? 0.4再把t?50代入(9)? 得到列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)?

几个概念?

微分方程? 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程? 叫微分方程? 常微分方程? 未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程? 偏微分方程? 未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的阶? 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数? 叫微分方程的阶? x3 y????x2 y???4xy??3x2 ? y(4) ?4y????10y???12y??5y?sin2x? y(n) ?1?0? 一般n阶微分方程?

F(x? y? y?? ? ? ? ? y(n) )?0?