内容发布更新时间 : 2024/9/21 14:31:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

立体几何

热点一 空间位置关系与几何体度量计算

以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等. 【例1】 (满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直1

于底面ABCD，AB＝BC＝2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P－ABCD的体积.

教材探源 1.考题源于教材必修2 P74习题2.3B组T2，T4及P62习题T3，将教材三棱锥改成以四棱锥为载体，考查空间平行与垂直，在问题(1)和(2)的前提下设置求四棱锥的体积，在计算体积的过程中，考查面面垂直与线面垂直，可谓合二为一的精彩之作.

2.考题将教材中多个问题整合，采取知识嫁接，添加数据，层层递进设置问题，匠心独运，考题源于教材高于教材. 满分解答 (1)证明 在平面ABCD中， 因为∠BAD＝∠ABC＝90°.

所以BC∥AD， 1分 (得分点1) 又BC?平面PAD，AD?平面PAD.

所以直线BC∥平面PAD. 3分 (得分点2) (2)解 如图，取AD的中点M，连接PM，CM，

1

由AB＝BC＝2AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

5分 (得分点3)

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，

所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，

7分 (得分点4)

因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.

8分 (得分点5)

设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x， 如图，取CD的中点N，连接PN.则PN⊥CD， 14

所以PN＝2x.因为△PCD的面积为27， 114

所以2×2x×2x＝27， 解得x＝－2(舍去)或x＝2.

10分 (得分点6)

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.

12（2＋4）

所以四棱锥P－ABCD的体积V＝3××23＝43. 2

12分 (得分点7)

得分要点

?得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，

有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的BC∥AD，第14

(2)问中CM⊥AD，PM⊥CM，PN＝2x等.

?得关键分：解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC?平面PAD，AD?平面PAD两个条件，否则不能得全分.在第(2)问中，证明PM⊥平面ABCD时，一定写全三个条件，如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否则要扣分.再如第(2)问中，一定要分别求出BC，AD及PM，再计算几何体的体积.

?得计算分：涉及体积与面积的计算，正确求得数据结果是关键，如利用面积求线段BC的长度，否则无法得分，再者PM及AD的计算失误也会扣去2分，在第(2)问的推理中，巧用第(1)问结果，借助BC∥AD，证明CM⊥AD优化解题过程.

【类题通法】

第一步：根据平面几何性质，证BC∥AD.

第二步：由线面平行判定定理，证线BC∥平面PAD. 第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CM⊥AD. 第四步：证明直线PM⊥平面ABCD. 第五步：利用面积求边BC，并计算相关量. 第六步：计算四棱锥P－ABCD的体积.

【对点训练】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAB； (2)求四面体N－BCM的体积.