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2017春期期中考试 高二数学（理）

一.选择题：

1?2i的实部与虚部的和等于（ C ） 1?2i34419A．??i B． 1?i C． D．

555551?2i?3?4i34解析：z?????i

1?2i5551.复数z?2.汽车以V?3t?1(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是( C ) A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 解析：S??2132(3t?1)dt?(t2?t)|1?5.5

23.下列命题错误的是( B )． ．．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°； ．．B．对任意的a?R，函数f(x)?1312存在一个极值点. x?ax?ax?1至少．．

32C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点； ．．

D．在锐角三角形中，任意一个角的正弦大于另两个角的余弦； ．．．．

2解析：f'(x)?x?ax?a，当??a?4a?0，即0?a?4时，f(x)是单调增加的，不存在极值点，故B

2错误．

4．已知函数f(x)?(x?2x)e，则limA．?e 解析：lim3x?x?0f(1??x)?f(1)的值为（D ）

?xD．0

B．1 C．e ?x?0f(1??x)?f(1)?f'(1)

?x5．若曲线f(x)?xsinx?1在点(A．－2

B．2

??22,?1)处的切线与直线ax?2y?1?0互相垂直，则实数a?（A）

D．－1

C． 1

解析：f'()?sin??22??2cos??a?1，所以，f'()???1，得a??2 222仅．个

6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行

生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）. A. 88 B. 89 C.90 D.91

解析：第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得??bn?an?1，

?an?an?1?bn?1∴an?an?1?an?2（即斐波那契数列），可得数列{an}为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即a12?89

7.设f'(x)是函数f(x)的导函数，y?f'(x)的图象如图所示，则y?f(x)的图象最有可能的是（ C ）

8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。易得出答案：A 9.已知定义在R上的函数f(x)?13ax?x2?ax?1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ D ） 3A．(??,?1)?(1,??)B．[?1,0)?(0,1]C．(?1,1) D．(?1,0)?(0,1)

2解析：f'(x)?ax?2x?a，由题意得：??a?0???2?4a?022，解得：a?(?1,0)?(0,1)

a2?i10.若z?(a?1)?(a?1)i为纯虚数，其中a?R，则等于（ B ）

1?ai2A．?iB．iC．1 D．1或i

a2?i1?i??i 解析：由z?(a?1)?(a?1)i为纯虚数，得a??1，所以

1?ai1?i211.已知：函数f(x)?xlnx?1，P、Q为其图像上任意两点，则直线PQ的斜率的最小值为（ B ） A.0B.?2e?322C.?eD.?2e?2?12

?32解析：f'(x)?2xlnx?x，而f''(x)?2lnx?3，易得，f'(x)在(0,e增加，故[f'(x)]min??2e?32)上单调减少，在(e,??)上单调

?32

12.定义在(0,?2)上的函数f(x)，f?(x)是它的导函数，且恒有f'(x)?f(x)tanx成立.则有（ D ）

A．2f()?f()B．3f()?2cos1?f(1)

???436C．2f()?6f()D．3f()?f()

????4663解析：由f'(x)?f(x)tanx得，f'(x)cosx?f(x)sinx?0，即[f(x)cosx]'?0，亦即函数

F(x)?f(x)cosx在(0,)上是单调增加的。故F()?F()

632二.填空题：

13.（x?1?x)dx? ____________.

?11????222?? 32解析：（x?1?x)dx??12?1222?2xdx?1?xdx?? ??1??13212114.已知：f(x)?2sin(2x?解析：f(x)?2sin(2x?15.若函数f(x)?f?(1)e解析：f'(x)?f'(1)e故f(x)?f'(1)ex?1x?1?)，则f'()=_________.23 332?2??),所以f'(x)?4sin(4x?)，得f'()?23 333?2?3)?1?cos(4x??f(0)x?x2，则f?(1)?_______．2e

x?1?f(0)?2x，则f'(1)?f'(1)?f(0)?2，所以，f(0)?2；

?2x?x2，则有f(0)?f'(1)e?1，得，f'(1)?2e

16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则得到类似结论；已知正四面体P?ABC的内切球体积为V1，外接球的体积为V2，则

S11?.推广到空间可以S24V11? .V227 h?233，内切球半径

解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为

a?2高为

r1?133V1r1h?r2??(1)3? 46，外接球半径2，则V2r227三.解答题：17题，12分。22题，10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。 17.（本小题满分12分）

用数学归纳法证明：对于任意的n?N，证明：（1）当n?1时，左边=

*111111???...?? n?1n?2n?32n2411211??=右边，命题成立；……………………………………2分 22424* （2）假设当n?k（ k?N）命题成立，即

111111；…………4分 ???...??k?1k?2k?32k24