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备战2019年高考数学一轮复习(热点难点)专题79 极坐标与参数方程
考纲要求:
极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现,在知识上结合解析几何,考查学生曲线方程的转化能力,以及解析几何的初步技能。题目难度不大,但需要学生能够快速熟练的解决问题 基础知识回顾: (一)极坐标:
1、极坐标系的建立:以平面上一点为中心(作为极点),由此点引出一条射线,称为极轴,这样就建立了一个极坐标系
2、点坐标的刻画:用一组有序实数对??,??确定平面上点的位置,其中?代表该点到极点的距离,而?表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度,通常:??0,???0,2??
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化:如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴重合,则
?x??cos??同一个点可具备极坐标??,??和直角坐标?x,y?,那么两种坐标间的转化公式为:?y??sin?,由点组成的
??2?x2?y2?直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化,例如:极坐标方程?cos???sin??1?x?y?1(在转化成x,y时要设法构造?cos?,?sin? ,然后进行整体代换即可) (二)参数方程:
???x?f?t??x?f?t?1、如果曲线F?x,y??0中的变量x,y均可以写成关于参数t的函数?,那么?就称为该曲线???y?g?t??y?g?t?的参数方程,其中t称为参数
2、参数方程与一般方程的转化:消参法 (1)代入消参:??x?t?3?y?2?3?x?3?
?y?2?3t1?x?t?2?1?t?1?2(2)整体消参:?,由?t???t2?2?2可得:x?y?2
t?t??y?t2?1?t2?(3)平方消参:利用sin??cos??1消去参数 3、常见图形的参数方程:
22(1)圆:?x?a???y?b??r的参数方程为:?222?x?a?rcos?,???0,2??,其中?为参数,其几何含义
?y?b?rsin?为该圆的圆心角
?x?acos?x2y2(2)椭圆:2?2?1?a?b?0?的参数方程为?,???0,2??,其中?为参数,其几何含义为椭
aby?bsin??圆的离心角
1?x2y2?x?a(3)双曲线:2?2?1?a?b?0?的参数方程为?cos?,???0,2??,其中?为参数,其几何含义为
ab??y?btan?双曲线的离心角
?x?2pt2(4)抛物线:y?2px?p?0?的参数方程为?,其中t为参数
?y?2pt2(5)直线:过M?a,b?,倾斜角为?的直线参数方程为??x?a?tcos?,t?R,其中t代表该点与M的距离
y?b?tsin??注:对于极坐标与参数方程等问题,通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程,然后利用传统的解析几何知识求解 应用举例:
例1.【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知在平面直角坐标系xoy中, O为坐标原点,曲线C:
{x?3cos??sin?y?3sin??cos?,在以平面直角坐标系的原点为极点, x轴的正半轴为极轴,有相同单位长 (?为参数)
度的极坐标系中,直线l: ?sin?????????1. 6?(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求与直线l平行且与曲线C相切的直线的直角坐标方程。
(Ⅱ)设所求直线方程为: x?3y?m?0 由圆心C到直线l的距离即可求出m 试题解析:(Ⅰ)曲线C: {x?3cos??sin?y?3sin??cos? ,
平方可得: {x2?3cos2??23cos?sin??sin2?y?3sin??23cos?sin??cos?2
2
222 :
曲线C的普通方程:x+y=4. 直线l: ?sin???????x??cos?31?sin???cos??1, ,由{ ?1?y??sin?226?得直线l的直角坐标方程: x+3y-2=0. (Ⅱ)所求直线方程为: x?3y?m?0
∵圆心(0,0)半径为2,圆心C到直线l的距离d?m2?2,
?m??4
所以所求直线方程为: x?3y?4?0
例2.【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】
x?t(t 为参数).以原点为极点, x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 圆C的已知直线l的参数方程为{y?a?t极坐标方程为??4cos?.
(Ⅰ)求直线l与圆C的普通方程;
(Ⅱ)若直线l分圆C所得的弧长之比为3:1,求实数a的值. 【答案】(Ⅰ) x?y?a?0;(Ⅱ) a?0或a?4.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知: ??4cos????4?cos??x?4x?y?0,
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