内容发布更新时间 : 2025/3/5 0:15:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题检测(十二) 三角恒等变换与解三角形
A卷——夯基保分专练
一、选择题
π???π?2
1.(2018届高三·合肥调研)已知x∈(0,π),且cos?2x-?=sinx,则tan?x-?2?4???等于( )
1
A. 3C.3
1B.-
3
D.-3
π??22
解析:选A 由cos?2x-?=sinx得sin 2x=sinx,∵x∈(0,π),∴tan x=2,
2??
?π?tan x-1=1. ∴tan?x-?=4?1+tan x3?
2.(2017·张掖一诊)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin
12
B-asin A=asin C,则sin B为( )
A.7 47 3
3B. 41D. 3
C.
1
解析:选A 由bsin B-asin A=asin C,且c=2a,
2
a2+c2-b2a2+4a2-2a23
得b=2a,∵cos B===, 2
2ac4a4
∴sin B=
7?3?2
1-??=. ?4?4
2
142cosθ-1?π?3.已知θ∈?0,?,且sin θ-cos θ=-,则的值为( )
4?4π???cos?+θ?
?4?2
A. 33C. 4
4B. 33D. 2
14, 4
解析:选D 法一:由sin θ-cos θ=-得sin?
?π-θ?=7.
?4
?4?
π?π??π?因为θ∈?0,?,所以-θ∈?0,?,
4?4?4??
?π?3
所以cos?-θ?=,
?4?4
?π?sin?-2θ?2cosθ-1cos 2θ?2?故==
πππ??????cos?+θ?sin?-θ?sin?-θ??4??4??4?
2
??π-θ??
??π??4????3
==2cos?-θ?=. ?4?2?π?sin?-θ?
?4?
sin?2?
法二:因为sin θ-cos θ=-
14
, 4
1
两边平方,整理得2sin θcos θ=,
892
所以(sin θ+cos θ)=1+2sin θcos θ=.
8
?π?因为θ∈?0,?,所以sin θ>0,cos θ>0,
4??
32
所以sin θ+cos θ=.
4
2cosθ-1cosθ-sinθ所以=2?π?cos?+θ?θ-sin θ?4?23
=2(cos θ+sin θ)=.
2
4.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin
2
2
2
C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=( )
A.C.π
12π 4
B.D.π 6π 3
解析:选B 因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0, 所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,
所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C≠0,
所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,
因为A∈(0,π),所以A=
3π, 4
2×222
由正弦定理得sin C=
c·sin A=a1=, 2
ππ
又0<C<,所以C=.
46
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
解析:选A 根据正弦定理得=即sin C
∵A+B+C=π,∴sin C=sin(A+B)
π
又三角形中sin A>0,∴cos B<0,
2∴△ABC为钝角三角形.
π
6.如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,
3
B.直角三角形 D.等边三角形
cbcsin C
bsin BDE⊥AB,E为垂足.若DE=22,则cos A等于( )
A.22
36 4
B.2 46 3=C.D.
解析:选C 依题意得,BD=AD=
22
,∠BDC=∠ABD+∠A=2∠A.在△BCDsin Asin ADEBCBD422242442
中,=,=×=,即=,由此sin∠BDCsin Csin 2Asin A2sin Acos A33sin A3sin A解得cos A=
6
. 4
二、填空题
?π?1?π?7.(2017·洛阳统考)若sin?-α?=,则cos?+2α?=________. ?3?4?3?
解析:依题意得cos?
?π+2α?=-cos?π-?π+2α??=-cos?2?π-α??=
???3????3??
?3?????????
7??1?22?π
2sin?-α?-1=2×??-1=-.
8?3??4?
7
答案:-
8
8.已知△ABC中,AC=4,BC=27,∠BAC=60°,AD⊥BC于D,则的值为________. 解析:在△ABC中,由余弦定理可得BC=AC+AB-2AC·ABcos∠BAC,即28=16+AB28+36-162-4AB,解得AB=6,则cos∠ABC==,
2×27×67
所以BD=AB·cos∠ABC=6×
2
12=, 77
2
2
2
2
BDCDCD=BC-BD=27-答案:6
127
=27
,所以=6.
BDCD9.(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A,B,
C处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m.
解析:设塔高为h m.依题意得,tan α=,tan β=,tan γ=.因为α+
80160240β+γ=90°,所以tan(α+β)tan γ=tan(90°-γ)tan γ=
+
80160
-γ-γ
γγ
hhhhhcos γsin γtan α+tan βh==1,所以·tan γ=1,所以·=1,解得sin γcos γ1-tan αtan βhh240
1-·80160
h=80,所以塔高为80 m.
答案:80 三、解答题
10.(2017·郑州第二次质量预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
B=2C,2b=3c.
(1)求cos C;
(2)若c=4,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理得,2sin B=3sin C.
∵B=2C,∴2sin 2C=3sin C,∴4sin Ccos C=3sin C, 3
∵C∈(0,π),sin C≠0,∴cos C=.
4(2)由题意得,c=4,b=6.
∵C∈(0,π),∴sin C=1-cosC=37
sin B=sin 2C=2sin Ccos C=,
8122
cos B=cos 2C=cosC-sinC=,
8
2
7, 4
37317
∴sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=
848457
. 16
1157157
∴S△ABC=bcsin A=×6×4×=. 22164
11.(2017·东北四市高考模拟)已知点P(3,1),Q(cos x,sin x),O为坐标原点,―→―→
函数f(x)=OP·QP.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值. ―→―→
解:(1)由已知,得OP=(3,1),QP=(3-cos x,1-sin x),
?π?所以f(x)=3-3cos x+1-sin x=4-2sin?x+?,
3??
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
?π?(2)因为f(A)=4,所以sin?A+?=0,
3??
ππ4π2π
3333
因为BC=3,所以由正弦定理,得AC=23sin B,AB=23sin C,
?π?所以△ABC的周长为3+23sin B+23sin C=3+23sin B+23sin?-B?=3+
?3??π?23sin?B+?.
3??
πππ2π
因为0
3333
πππ
所以当B+=,即B=时,△ABC的周长取得最大值,为3+23.
32612.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,
B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止
目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度