内容发布更新时间 : 2025/3/4 19:06:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形

A卷——夯基保分专练

一、选择题

π???π?2

1．(2018届高三·合肥调研)已知x∈(0，π)，且cos?2x－?＝sinx，则tan?x－?2?4???等于( )

1

A. 3C．3

1B．－

3

D．－3

π??22

解析：选A 由cos?2x－?＝sinx得sin 2x＝sinx，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，

2??

?π?tan x－1＝1. ∴tan?x－?＝4?1＋tan x3?

2．(2017·张掖一诊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin

12

B－asin A＝asin C，则sin B为( )

A.7 47 3

3B. 41D. 3

C.

1

解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，且c＝2a，

2

a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23

得b＝2a，∵cos B＝＝＝， 2

2ac4a4

∴sin B＝

7?3?2

1－??＝. ?4?4

2

142cosθ－1?π?3．已知θ∈?0，?，且sin θ－cos θ＝－，则的值为( )

4?4π???cos?＋θ?

?4?2

A. 33C. 4

4B. 33D. 2

14， 4

解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－得sin?

?π－θ?＝7.

?4

?4?

π?π??π?因为θ∈?0，?，所以－θ∈?0，?，

4?4?4??

?π?3

所以cos?－θ?＝，

?4?4

?π?sin?－2θ?2cosθ－1cos 2θ?2?故＝＝

πππ??????cos?＋θ?sin?－θ?sin?－θ??4??4??4?

2

??π－θ??

??π??4????3

＝＝2cos?－θ?＝. ?4?2?π?sin?－θ?

?4?

sin?2?

法二：因为sin θ－cos θ＝－

14

， 4

1

两边平方，整理得2sin θcos θ＝，

892

所以(sin θ＋cos θ)＝1＋2sin θcos θ＝.

8

?π?因为θ∈?0，?，所以sin θ>0，cos θ>0，

4??

32

所以sin θ＋cos θ＝.

4

2cosθ－1cosθ－sinθ所以＝2?π?cos?＋θ?θ－sin θ?4?23

＝2(cos θ＋sin θ)＝.

2

4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin

2

2

2

C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )

A.C.π

12π 4

B.D.π 6π 3

解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，

所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，

所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，

因为A∈(0，π)，所以A＝

3π， 4

2×222

由正弦定理得sin C＝

c·sin A＝a1＝， 2

ππ

又0＜C＜，所以C＝.

46

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

解析：选A 根据正弦定理得＝即sin C

∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)

π

又三角形中sin A>0，∴cos B<0，

2∴△ABC为钝角三角形．

π

6．如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，

3

B．直角三角形 D．等边三角形

cbcsin C

bsin BDE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A等于( )

A.22

36 4

B.2 46 3＝C.D.

解析：选C 依题意得，BD＝AD＝

22

，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCDsin Asin ADEBCBD422242442

中，＝，＝×＝，即＝，由此sin∠BDCsin Csin 2Asin A2sin Acos A33sin A3sin A解得cos A＝

6

. 4

二、填空题

?π?1?π?7．(2017·洛阳统考)若sin?－α?＝，则cos?＋2α?＝________. ?3?4?3?

解析：依题意得cos?

?π＋2α?＝－cos?π－?π＋2α??＝－cos?2?π－α??＝

???3????3??

?3?????????

7??1?22?π

2sin?－α?－1＝2×??－1＝－.

8?3??4?

7

答案：－

8

8．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为________． 解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AC＋AB－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB28＋36－162－4AB，解得AB＝6，则cos∠ABC＝＝，

2×27×67

所以BD＝AB·cos∠ABC＝6×

2

12＝， 77

2

2

2

2

BDCDCD＝BC－BD＝27－答案：6

127

＝27

，所以＝6.

BDCD9．(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m，240 m 的同一水平面上的A，B，

C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.

解析：设塔高为h m．依题意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因为α＋

80160240β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝

＋

80160

－γ－γ

γγ

hhhhhcos γsin γtan α＋tan βh＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得sin γcos γ1－tan αtan βhh240

1－·80160

h＝80，所以塔高为80 m.

答案：80 三、解答题

10．(2017·郑州第二次质量预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

B＝2C,2b＝3c.

(1)求cos C；

(2)若c＝4，求△ABC的面积．

解：(1)由正弦定理得，2sin B＝3sin C.

∵B＝2C，∴2sin 2C＝3sin C，∴4sin Ccos C＝3sin C， 3

∵C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos C＝.

4(2)由题意得，c＝4，b＝6.

∵C∈(0，π)，∴sin C＝1－cosC＝37

sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝，

8122

cos B＝cos 2C＝cosC－sinC＝，

8

2

7， 4

37317

∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝

848457

. 16

1157157

∴S△ABC＝bcsin A＝×6×4×＝. 22164

11．(2017·东北四市高考模拟)已知点P(3，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，―→―→

函数f(x)＝OP·QP.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值． ―→―→

解：(1)由已知，得OP＝(3，1)，QP＝(3－cos x,1－sin x)，

?π?所以f(x)＝3－3cos x＋1－sin x＝4－2sin?x＋?，

3??

所以函数f(x)的最小正周期为2π.

?π?(2)因为f(A)＝4，所以sin?A＋?＝0，

3??

ππ4π2π

又0

3333

因为BC＝3，所以由正弦定理，得AC＝23sin B，AB＝23sin C，

?π?所以△ABC的周长为3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin?－B?＝3＋

?3??π?23sin?B＋?.

3??

πππ2π

因为0

3333

πππ

所以当B＋＝，即B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋23.

32612．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，

B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止

目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度