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2019年五年级奥数知识 奇怪的无穷多和变换

整数有多少个？

无穷个。

偶数有多少个？

无穷个。

这样的回答是正确的。如果我问你：

整数与偶数，哪一种数多？

恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”

整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？

你认为这样的回答有道理吗？

16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。

不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办法。

据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块

小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。

这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：

0 1 2 3 4 …

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 4 6 8 10 …

按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。

这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立。

二 变换

任给一个自然数n，如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3，再加上1，我们称这种作法为对于数n的变换.例如，对于数5，按照上述规则进行一次变换得到。

3×5＋1＝16.

对16施行变换得 16÷2＝8.

将这种变换继续下去，有

8÷2＝4， 4÷2＝2，

2÷2＝1， 1×3＋1＝4，

4÷2＝2， 2÷2＝1，

……

有趣的是，对于数5，按照上面所要求的规则不断变换下去，最终出现形如

4→2→1→4→2→1→……的重复.

还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到

6→3→10→5→16→8

4→2→1→4→2→1→……

再如18，

18→9→28→14→7→22→

11→34→17→52→26→13→

40→20→10→5→16→8→

我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如

4→2→1→4→2→1的循环、重复.

遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。

在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。