内容发布更新时间 : 2024/11/20 14:17:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。 （1） 【答案】 （1）设

； （2）

；

，

则积，

表示由直线，，以及轴围成的梯形的面

该梯形面积为 ∴ （2）设

，

。

则表示由直线，,所以

，以及。

轴围成的矩形的面积，

该矩形面积为

【变式4】利用定积分的几何定义求定积分： （1） 【答案】

； （2）

（1）设，则表示个圆，

由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,

所以 （2）设边形，

，则

表示如图的曲

其面积,

故.

类型二：运用微积分定理求定积分

2．运用微积分定理求定积分

（1）， （2）， （3）

思路点拨： 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解. 解析：

（1）∵ （2）∵

，∴

，∴

；

；

（3）∵，∴.

总结升华：求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数

。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求

，

即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

有时需要将原式化简后再求解，有时不易找到原函数定积分的几何定义）.

举一反三：

【变式1】计算下列定积分的值：

，此时可以用其他方法（如：

（1） 【答案】 （1）∵

； （2）； （3）.

，

∴；

（2）∵，

∴ （3）∵

，

.

∴

【变式2】计算下列定积分的值：

；

（1） 【答案】

， （2）， （3）

（1）

（2）

（3）

类型三：运用积分的性质求定积分

3．求定积分：；

思路点拨：对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分，根据定积分对区间的可加性，对给定的积分区间适当分成几个积分区间，计算各个积分，最后求和，得出结果. 解析：

＝

＋＋

＝

＝

＝；

＝

总结升华：对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质

＋进行化简.对于含绝对值的函数求积分，一般先把绝对值号去掉，

写成分段函数，合理地确定积分区间，再进行积分.

举一反三： 【变式1】设

是连续函数，若

，

，则

____________； 【答案】

；

【变式2】已知函数 【答案】

＝

＋＋

，计算

.

＝

＝＋

＝.

4．求定积分：

思路点拨： 利用定积分的性质求解 解析：∵

是奇函数，∴

；

，

∵是偶函数，∴

∴

总结升华：利用被积式函数的奇偶性求积分。 举一反三：【变式1】设 【答案】∵

是偶函数，若

，则

____________；

是偶函数，∴

【变式2】求定积分：

【答案】∵

是偶函数，

∴

.

类型四：利用定积分求平面图形面积

5．求直线与抛物线所围成的图形面积. 思路点拨：画出简图，结合图形确定积分区间。

解析：如图，由得交点，，

所求面积：.

总结升华：求平面图形的面积体现了数形结合的思想，求图形的面积的一般步骤是： （1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；

（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；

（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键； （4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式； （5）计算各个定积分，求出所求的面积.

举一反三： 【变式1】求由曲线图形的面积.

（），，围成的平面

【答案】如图，由（）和，得交点；

法一：所求面积为矩形面积减去由曲线

，

，

（），

围成的平面图形的面积.

故所求面积为

法二：所求面积为。