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2019年《二次函数与几何综合》专题复习

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二次函数与几何综合试题案例分析的形式探寻解题策略. （一）奇思巧构----以“角”为桥连接已知与未知 解题策略1：巧构“相似三角形”

若在二次函数与几何综合试题中出现了已知两角相等，常构造出对应的两个三角形相似. 在平面直角坐标系中常运用数形结合思想，构造对应的两个直角三角形相似.

【例1】如图1，抛物线y??x2?3x?4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，连接DB，在抛物线上是否存在一点P，使 ∠DBP=∠ABC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【分析】 由∠DBP=∠ABC得到∠DBC=∠ABP , 如图2，过D作DF?BC于F，过P作PE?x轴于E，构造Rt?DBF∽Rt?PBE,从而求出点P的坐标.

图1

图2

解题策略2：巧构“一线三直角图形”

构造“一线三直角图形”的基本思想是化归为基本图形.在平面直角坐标系中，构造“一线三直角图形”的作用是运用相似求线段的长（从而根据线段的长求点的坐标）.当一个直角位于平面直角坐标系中任何一个位置时，根据解题需要，可过直角顶点作平行于x轴或行于y轴的直线，构造“一线三直角图形”.

一线三直角图形

【例2】二次函数y?x2?2x?3 与x轴交于A ,B两点，（A在左侧，B在右侧），与y轴交于点C.

（1）如图3，P 是抛物线上的点，当?ACP?45? 时，求点P 坐标 ； （2）如图4，E是抛物线上的点，当?BCE??ACO时，求点E坐标 . 图3 图4

变式一：当P 是抛物线上的点，当?ACP?30? 时，求点P 坐标.（分析思路） 变式二：当P 是抛物线上的点，当?ACP?60? 时，求点P 坐标.（分析思路）

【分析】（1）如图5，含450角的直角三角形的两直角边的比等于1，构造“一线三直角”求出点E坐标，再求出直线CE与抛物线的交点坐标P；如图6，含300角的直角三角形的两直角边的比等于3:3，构造“一线三直角” 求出点E坐标；含600角的直角三角形也可用相同方法构造“一线三直角” 求出点E坐标。

图5

变式：

图6

（2）如图7，相等的两角?ACO和?BCE的顶点是定点，且?ACO在直角三角形中, 首先想到巧构“相似直角三角形”，以定点B为直角顶点作BF?BC交直线CE于F，在平面直角坐标系中出现了直角?CBF?90?,自然地想到过直角顶点B构造“一线三直角”，求出点F坐标，再求出直线CF与抛物线交点E的坐标。如图8，注意分类讨论，CE分别在CB的两旁，可以同理构“一线三直角”求F2坐标，也可由F2和F1关于B中心对称求F2坐标.

思考：如图9，若过B作BF?CE于F，过直角顶点F构造“一线三直角”，能求出F坐标吗？

图7 图8