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实 数

考点·方法·破译 1．平方根与立方根：

2若x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中

a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．

若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上

p的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数q（p、q是两个互质的整数，且q≠0）

3的形式． 3非负数：

实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即

a2n>0，a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．

经典·考题·赏析

【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．

【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m?l是同一个数的平方根，∴2m?4 ＋3m?l＝0，5m＝5，m＝l．

【变式题组】

01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于15?2的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____．

04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．

【例

2】（全国竞赛）已知非零实数

a、b

满足

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2a?4?b?2??a?3?b2?4?2a，则a＋b等于( )

A．－1 B． 0 C．1 D．2 【解法指导】若a≥3

??b?2?0?a?3?2?a?3b?0????∴，∴?b??2，故选C．

?a?3?b2有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0

【变式题组】

0l．在实数范围内，等式2?a?a?2?b?3＝0成立，则ab＝____．

aa?9??b?3??002．若，则b的平方根是____．

2?x?

??x?2?y?2?003．（天津）若x、y为实数，且，则?y?

2009

的值为（ ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

x?????x?x?104．已知x是实数，则1?的值是( )

A．

1?? B．

1?11? C．??1 D．无法确定

【例3】若a、b都为有理效，且满足a?b?b?1?23．求a＋b的平方根． 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵

a?b?b?1?23，

???a?b?1?a?b?1?a?13???b?23?b?12???∴ 即，∴?b?12，

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a ＋b＝12 ＋13＝25．

∴a＋b的平方根为：?a?b??25??5． 【变式题组】

01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（5＋2）m＋(3－25)n＋7＝0

求m、n．

1?1???32）2302．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（

y?4??＝0，则x?y＝____．

a?b?b?a【例4】若a为17?2的整数部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．

【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17?2 ?2＝17?4．∵a＝2，b?1＝±3 ，∴b＝－2或4

∵

a?b?b?a．∴a

【变式题组】

01．若3＋5的小数部分是a，3?5的小数部分是b，则a＋b的值为____． 02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋a）·b＝____．

演练巩固 反馈提高 0l．下列说法正确的是( )

A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根 C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3

c??52，则a、b、c的大小关系是( )

02．设a??3，b＝ －2，

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