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第四版

数值分析习题

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式

1783100 ( n=1,2,…)

Y计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?

Yn?Yn?1?27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求

???N1dx21?x?

29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

S?10. 设

误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列

12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对

{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

计算到

6f?(2?1)12. 计算,取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)

2f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若13.

改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?

ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

14. 试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

s??s?a?b?c???.sabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?1?11x0?xn?1x2x0????nx0?2nxn?xn?1?1x2xn

证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且

Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.

xj6. 设

为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) ii) 7. 设

?xl(x)?x(k?0,1,?,n);kjjkj?0n

?(xj?0nj?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

x8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截

断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn. 10. 如果f(x)是

n44m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m是)m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.

12. 证明k?0n?1?f?gkn?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0n?1

13. 证明

2??yj??yn??y0.j?0

n?1nf(x)?a?ax???ax?ax01n?1n14. 若有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明

?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)

若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;

ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则F?x0,x1,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.

01701874???f?2,2,?,2f2,2,?,2f(x)?x?x?3x?1?及??. 16. ,求?17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在a,b上一致收敛到f(x).

21. 设f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.

2f(x)?x22. 求在?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.

2??23. 求f(x)?x在a,b上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

24. 给定数据表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 xj 4??0.53 0.7280 yj i) ii)

0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 试求三次样条插值S(x)并满足条件

2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.

2b2bi)

?a?f?(x)?dx??a?S?(x)?dx??a?f?(x)?S?(x)?dx?2?aS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;

b2bii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则