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黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9

理科数学参考答案

一、选择题 题号 答案

二、填空题

13．?8 14．甲 15．31 16．(3,2]

三、解答题 17、（12分）

解：（I）当n?1时，有a1?S1?当n?2时，有Sn?1?1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 D 10 B 11 A 12 C 4(a1?1)，解得a1?4. 34(an?1?1)，则 344an?Sn?Sn?1?(an?1)?(an?1?1)

33整理得：

an?4 an?1? 数列{an}是以q?4为公比，以a1?4为首项的等比数列．

）?an?4?4n?1?4n(n?N*即数列{an}的通项公式为：an?4n(n?N*． ……………………………6分 ）（II）由（I）有bn?log2an?log24n?2n，则

111?11??=???

(bn?1)(bn?1)(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1??Tn?1111??????? 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)111111111?[(?)?(?)?(?)?????(?)] 21335572n?12n?111?(1?) 22n?1易知数列{Tn}为递增数列

111?T1?Tn?，即?Tn?. ………………………………………12分

232

18、（12分）

解：（I）由直方图知：?0.01?0.025?0.035?a?0.01??10?1，有a?0.02， 由频数分布表知：b?18?49?24?5?100，有b?4．

? 甲公司的导游优秀率为：?0.02?0.01??10?100%?30%；

乙公司的导游优秀率为：

24?5?100%?29%； 100由于30%?29%，所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II）甲公司年旅游总收入?10,20?的人数为0.01?10?100?10人；

年旅游总收入?20,40?的人数为?0.025?0.035??10?100?60人； 年旅游总收入?40,60?的人数为?0.02?0.01??10?100?30人； 故甲公司导游的年平均奖金y?1?10?60?2?30?3?2.2（万元）． ……8分

100（III）由已知得，年旅游总收入在?50,60?的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故?的可能取值为0,1,2,3，易知：

3C1024； p???0??3?C159121C10C45p???1??35?；

C15911C10C5220； p???2???3C15913C52p???3??3?.

C1591??的分布列为：

? 0 1 2 3

p 24 9145 9120 912 91??的数学期望为：E(?)?0?19、（12分）

2445202?1??2??3??1． …………12分 91919191（I）证明：取PD中点G，连接GF,GC． 在△PAD中，有

G,F分别为PD、AP中点

?GF//1AD 21AD 2在矩形ABCD中，E为BC中点

?CE//?GF//EC

? 四边形ABCD是平行四边形 ?GC//EF

而GC?平面PCD，EF?平面PCD

?EF//平面PCD………………………………………………6分

（II）取AB中点O，连接OP，设AD=2.

? 四边形ABCD是矩形 ?AD?AB

? 平面PAB?平面ABCD,平面PAB?平面ABCD=AB，AD?平面PAB ?AD?平面PAB

0又AD?AP?PB，?APB=120，O为AB中点

?OP?AB，OA?OB?3，OP?1.

故可建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示，则

A（3，0，0）（-3，0，0）（0，1，0），P，B，C(-3,0,2)，D(3,0,2)

?F(31,,0)，E(-3,0,1) 22????????31,,?2) ?DE?(?23,0,?1)，DF?(?22?设n?(x,y,z)是平面DEF的一个法向量，则 ???????23x?z?0?DE?n?0??，即? ??????31x?y?2z?0????DF?n?0?22?不妨设x?1，则n?(1,?73,?23)．

????易知向量AD?(0,0,2)为平面PAB的一个法向量．

??????????n?AD?23?230 ???cos?n,AD????????22220n?AD1?(?73)?(?23)?2故平面DEF与平面PAB所成锐二面角的余弦值为

20、（12分）

解：（I）设点P(x,y),x?0，则

30. …………12分 20kPA?kPB?y?1y?11??? xx2x2?y2?1 整理得：2故曲线C的轨迹方程为：

x2?y2?1,(x?0). ……………………………………5分 2（II）假设存在直线l满足题意．

显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C不相交．

①当直线l的斜率k?0时，设直线l为：y?k(x?2)

?x2??y2?1联立?2，化简得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0

?y?k(x?2)?由??(8k2)2?4(1?2k2)(8k2?2)?0，解得?设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则

22 ?k?（k?0）22??8k2x?x???121?2k2?2?xx?8k?2 12?1?2k2??8k24k?4k? ?y1?y2?k(x1?x2)?4k?k1?2k21?2k2y1?y2?1?x1?x2y1?y2?,取MN的中点H，则H??k??1 ?，则222x?x??1222k?121?2k即 ?k??1，化简得2k2?2k?1?0，无实数解，故舍去． 2?4k1?2k2②当k?0时，M,N为椭圆C的左右顶点，显然满足|BM|?|BN|，此时直线l的方程为y?0．

综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y?0． ……………12分 21、（12分）

解：（I）由题意知：h(x)?xe2?mx，则 ?1(x?R）h?(x)?2xe?mx?x2(?m)e?mx?e?mx(?mx2?2x)，(x?R)．

①当m?0时，令h'?x??0，有x?0；令h'?x??0，有x?0．故函数y?h?x?在

?0,???上单调递增，在???,0?上单调递减．

②当m?0时，令h'?x??0，有0?x?22；令h'?x??0，有x?0或x?．故函mm