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矩阵理论试卷（A）（2011级） (共2页) 成绩

学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿；学号＿ ＿＿ ＿＿

1. （15分）已知?1?(1,2,1,?2)T，?2?(2,3,1,0)T，?3?(1,2,2,?3)T，

?1?(1,1,1,1)T，?2?(1,0,1,?1)T，?3?(1,3,0,?4)T。

求（1）W1?span(?1,?2,?3)（即表示W1由?1,?2,?3生成的子空间，下同）的基与维数；（2）W2?span(?1,?2,?3)的基与维数；（3）W1?W2及W1?W2的基与维数。 2. （10分）设R中线性变换T1对基底?1?(1,2)T,?2?(2,1)T的矩阵为?2?12??，线性变?23?换T2对基底?1?(1,1)T,?2?(1,2)T的矩阵为??33??。 ?24?T（1）求T1?T2对基底?1,?2的矩阵；（2）设??(3,3)，求T1(?)在基底?1,?2下的坐标； 3.（10分）在线性空间V?R?t?4(次数小于4的实系数多项式)中定义内积 f?t?，g?t?????f?t?g?t?dt，

?11V1?span?1，t?为V的子空间，求V1?的一个标准正交基。

4. （10分） 设T是欧氏空间V上的变换，对V中任意向量 α，β有?Tα，Tβ???α，β?，证明T是V上的线性变换 。

?300???5．（10分） 设A??111?，

?1?13???（1）．求A的特征值及对应的特征子空间；

（2）．.求A的不变因子，初等因子及最小多项式，并说明A能否对角化？

6．（10分）设复数域C上的线性空间V的一个基为?1,?2,?3，线性变换T在该基下的矩阵为

1

??1?2?0 A???1??1?1?6??3? ?4?求V的另一个基?1,?2,?3（用?1,?2,?3表示），使T在该基下的矩阵为若当（Jordan）标准形；

?sintlntt???7 （10分）设A(t)??etcostt2?，求：(1) A?(t), (2)

??0t3??1

?x1A(t)dt．

?22?1???At8. （15分）设A???1?11?，求e．

????1?22?9 （10分） 证明：

?Ak?0?k收敛的充要条件是?(A)?1,（其中??A??max?i，?i为A1?i?n???1）的特征值），收敛时其和为（E?A，并且对任何正整数k，

A（E?A）?（E?A???A）?。

1?A?1kk?1

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矩阵理论试卷（2011级）参考答案

?1?21 解：（Ⅰ）?21??121????32??0?10?，易求出r({?1,?2,?3})?3，故???112?0?3????2??0?11??04?1??dimW1?r(?{1?,2?,3?})，且3?1,?2,?3为W1的一组基。

（Ⅱ）类似可得dimW2?3且?1,?2,?3为W2的一组基。

??111121??100121（Ⅲ）?103232??????0?10111???110112???00?10?11。 ?1?1?4?20?3?????000?55?15??可以看出， r({?1,?2,?3,?1,?2,?3})?4，故

dim(W1?W2)?r({?1,?2,?3,?1,?2,?3})?4，

且易看出?1,?2,?3,?1为W1?W2的一组基。

解方程组x1?1?x2?2?x3?3?y1?1?y2?2?y3?3?0 （1） （1）式等价于方程组

??x1?2y1?5y3?0,??x2?y1?y2?3y3?0,?x3?y 2?y3?0,??5y1?13y2?15y3?0.得基础解系为?1?(26,?18,?5,?13,5,0)T，?T2?(1,0,1,?3,0,1)，再令

??13??,???T1?(?1,?23)?5??13??5??(?3,??1211,?8,26)， ?0?????3???0???3?T2?(?1,?2,?3)???1??3?(?2,?4,?1,3)。 ?1??则W1?W2?L(?1,?2)，dimW1?W2?2且?1,?2为W1?W2的一组基。 2. 解：（1）由假设知

T1(?1,?2)?(?1,?2)A （1）

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