内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:33:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
矩阵理论试卷(A)(2011级) (共2页) 成绩
学院班级__ _; 姓名___ __;学号_ __ __
1. (15分)已知?1?(1,2,1,?2)T,?2?(2,3,1,0)T,?3?(1,2,2,?3)T,
?1?(1,1,1,1)T,?2?(1,0,1,?1)T,?3?(1,3,0,?4)T。
求(1)W1?span(?1,?2,?3)(即表示W1由?1,?2,?3生成的子空间,下同)的基与维数;(2)W2?span(?1,?2,?3)的基与维数;(3)W1?W2及W1?W2的基与维数。 2. (10分)设R中线性变换T1对基底?1?(1,2)T,?2?(2,1)T的矩阵为?2?12??,线性变?23?换T2对基底?1?(1,1)T,?2?(1,2)T的矩阵为??33??。 ?24?T(1)求T1?T2对基底?1,?2的矩阵;(2)设??(3,3),求T1(?)在基底?1,?2下的坐标; 3.(10分)在线性空间V?R?t?4(次数小于4的实系数多项式)中定义内积 f?t?,g?t?????f?t?g?t?dt,
?11V1?span?1,t?为V的子空间,求V1?的一个标准正交基。
4. (10分) 设T是欧氏空间V上的变换,对V中任意向量 α,β有?Tα,Tβ???α,β?,证明T是V上的线性变换 。
?300???5.(10分) 设A??111?,
?1?13???(1).求A的特征值及对应的特征子空间;
(2)..求A的不变因子,初等因子及最小多项式,并说明A能否对角化?
6.(10分)设复数域C上的线性空间V的一个基为?1,?2,?3,线性变换T在该基下的矩阵为
1
??1?2?0 A???1??1?1?6??3? ?4?求V的另一个基?1,?2,?3(用?1,?2,?3表示),使T在该基下的矩阵为若当(Jordan)标准形;
?sintlntt???7 (10分)设A(t)??etcostt2?,求:(1) A?(t), (2)
??0t3??1
?x1A(t)dt.
?22?1???At8. (15分)设A???1?11?,求e.
????1?22?9 (10分) 证明:
?Ak?0?k收敛的充要条件是?(A)?1,(其中??A??max?i,?i为A1?i?n???1)的特征值),收敛时其和为(E?A,并且对任何正整数k,
A(E?A)?(E?A???A)?。
1?A?1kk?1
2
矩阵理论试卷(2011级)参考答案
?1?21 解:(Ⅰ)?21??121????32??0?10?,易求出r({?1,?2,?3})?3,故???112?0?3????2??0?11??04?1??dimW1?r(?{1?,2?,3?}),且3?1,?2,?3为W1的一组基。
(Ⅱ)类似可得dimW2?3且?1,?2,?3为W2的一组基。
??111121??100121(Ⅲ)?103232??????0?10111???110112???00?10?11。 ?1?1?4?20?3?????000?55?15??可以看出, r({?1,?2,?3,?1,?2,?3})?4,故
dim(W1?W2)?r({?1,?2,?3,?1,?2,?3})?4,
且易看出?1,?2,?3,?1为W1?W2的一组基。
解方程组x1?1?x2?2?x3?3?y1?1?y2?2?y3?3?0 (1) (1)式等价于方程组
??x1?2y1?5y3?0,??x2?y1?y2?3y3?0,?x3?y 2?y3?0,??5y1?13y2?15y3?0.得基础解系为?1?(26,?18,?5,?13,5,0)T,?T2?(1,0,1,?3,0,1),再令
??13??,???T1?(?1,?23)?5??13??5??(?3,??1211,?8,26), ?0?????3???0???3?T2?(?1,?2,?3)???1??3?(?2,?4,?1,3)。 ?1??则W1?W2?L(?1,?2),dimW1?W2?2且?1,?2为W1?W2的一组基。 2. 解:(1)由假设知
T1(?1,?2)?(?1,?2)A (1)
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