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广东省2019届高三六校第一次联考

文科数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求。

1．已知集合A?{?1,01,,2}，集合B?{y|y?2x?3,x?A}，则AB? ( )

A．{?1，0，1} B．{?11，}

C．{?11，，2}

D．{0，1，2}

2．已知复数z?1?i2?i，其中i为虚数单位，则z? ( ) A．510103 B．3 C． 55

D．5 3．等比数列?an?的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则S4?( )

A. 16 B. 15 C. 8 D. 7

4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电 量y（单位：度）与气温x（单位：c）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天 气温，并制作了对照表： x（单位:c） 17 14 10 ?1 y（单位：度） 24 34 38 a 由表中数据得线性回归方程：y???2x?60．则a的值为 （ ） A．48 B．62 C．64 D．68

5. 下列四个结论：

①命题“?x0?R,sinx0?cosx0?1”的否定是“?x?R,sinx?cosx?1”； ②若p?q是真命题，则?p可能是真命题； ③“a?5且b??5”是“a?b?0”的充要条件； ④当??0时，幂函数y?x?在区间(0,??)上单调递减. 其中正确的是（ ） 精品文档

A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④

6.在R上函数f(x)满足f(x?1)?f(x?1)，且f(x)????x?a,?1?x?0?2?x,0?x?1，

?其中a?R，若f(?5)?f(4.5)，则a? ( )

A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5

?2x?y?07．已知点A(2,1)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足：??x?2y?3?0

??y?0设z?OP?OA，则z的最大值是（ ）． A. -6 B.1 C.2 D. 4 8. 将函数f(x)?cos2x的图象向右平移

?4个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( ) A．最大值为1，图象关于直线x??2对称 B．在???0,??4??上单调递增，为奇函数

C．在??3????3???8,8??上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点??8,0???对称 9. 如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积 为（ ）

4A. 40323 B. 3

144C. 1628正视图侧视图3 D. 3

22俯视图10.已知双曲线xy a2?b2?1(a?0,b?0)的左焦点为F,离心率为2，若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）

22x2y2x2A..x?y?1 B.2?2?1 C.y2x2y24?4?1 D.8?8?1

11. 数列?ann?的前n项和为S2n?n?n?1,bn???1?an?n?N*?,则数列?bn?的前50项和为

（ ） A．49

B．50

C．99

D．100

12.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f'(x)?f(x)?0，设a?f(m?m2)，

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b?em2?m?1?f(1)，则a、b的大小关系是（ ）

A．a?b B．a?b C．a?b D．a、b的大小与m有关 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知a?3，b?2，若?a?b??a，则a与b的夹角是_________.

14.已知函数f(x)?x3?ax?1的图象在点?1,f(1)?处的切线过点??1,1?，则a?___. 15.在三棱锥D?ABC中，DC?底面ABC，AD?6,AB?BC且三棱锥D?ABC的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 _______

16.已知直线l：y?kx?t与圆C221:x?(y?1)?2相交于A,B两点，且三角形C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C22:x?2y相交于不同的两点M,N，则实数t的取值范围是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

已知b2?c2?a2?accosC?c2cosA．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若?ABC的面积S253?ABC?4，且a?5，求sinB?sinC． 18．（12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖．

现有某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图1所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．

频率 科目：数学 频率 科目：语文 0.40 0.38

数学二等奖 语文二等奖

学生得分 学生得分0.26

0.16 7 9 0.10 1 4 8 9 4 6 7 O

一等 二等 三等 淘汰 等级 O 一等 二等 三等 淘汰 等级 2 0 3 9 图1 图2

（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；

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（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，

将他们的综合得分绘成茎叶图（图2），求样本的平均数及方差并进行比较分析；

（Ⅲ）已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考

生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．

19．（12分）如图，平行四边形ABCD中，BC?2AB?4，

?ABC?60?，PA?平面ABCD，PA?2， PE，F分别为BC，PE的中点． （1）求证：AF?平面PED；

（2）求点C到平面PED的距离． FADBEC

20．（12分）已知椭圆D:x2y22a2?b2?1(a?b?0)的离心率为e?2，点(?2,1)在椭圆D上．

（Ⅰ）求椭圆D的方程； （Ⅱ）过椭圆内一点P(0,t)的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M,N两点，设直线OM，ON

（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2，若对任意k，存在实数?，使得k1?k2??k， 求实数?的取值范围．

21. (12分) 已知函数f?x??12x2?(a?1)x?alnx． （1）当a?1时，讨论函数f(x)的单调性；

（2）若不等式f(x)?(a?1)x?x22?xa?1?e对于任意x???e?1,e??成立， 求正实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程

??5（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?x??5t,（t为参数），以平面直角坐?25??y?5t标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

?2=22?sin(???4)?1．

（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，O为坐标原点，且|OA|?|OB|，求

1|OA|?1|OB|．

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23．选修4-5：不等式证明选讲

（10分）已知函数f(x)?x?1?x?2

（1）若不等式f(x)?a?1恒成立，求a的取值范围; （2）求不等式f(x)?x?2?3的解集．

2019届高三六校第一次联考

文科数学参考答案

一、选择题：BDBC ACDB ADAB 二、填空题：

13．1500 14.-5 15.36? 16.???,?4???0,??? 三、解答题：

17．解：（Ⅰ）∵b2?c2?a2?accosC?c2cosA，

∴2bccosA?accosC?c2cosA，

?c?0,于是2bcosA?acosC?ccosA，……1分

由正弦定理得2sinBcosA?sinAcosC?sinCcosA，……2分 即2sinBcosA?sin(A?C) ……3分 ∵sin(A?C)?sin(??B)?sinB，

∴2sinBcosA?sinB，即sinB(2cosA?1)?0，……4分 ∵0?B??，∴sinB?0，∴cosA?12 ……5分 ∵0?A??，∴A??3． ……6分

（Ⅱ）∵S13253?ABC?2bcsinA?4bc?4，∴bc?25，……7分 ∵cosA?b2?c2?a2b2?2bc?c2?252?25?12，∴ b2?c2?50，……8分

∴(b?c)2?50?2?25?100，即b?c?10，（或求出b?c?5） ……10分

?sinB?sinC?b?sinAa?c?sinAa ……11分 3?(b?c)?sinAa?10?25?3 ……12分

18．解：（Ⅰ）∵数学成绩为二等奖的考生有12人，

∴该考场的总人数为

121?0.4?0.26?0.1?50 （人） ……1分

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故该考场语文成绩为一等奖的考生人数为50?(1?0.38?2?0.16)?4人 ……2分 （Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为x1，x2，s21，s22

x81?84?93?90?9279?89?84?861?5?88, x?872?5?85 ……3分

s2?11?(?7)2?(?4)2?52?22?425?=22 ……4分

s212?5?(?6)2?42?(?1)2?12?22?=11.6 ……5分

因为88?85,11.6?22，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差． ………6分

3人，仅数学为一等奖的考生有2人，仅语文为一等奖的考生

有1人 ……7分

把两科成绩都是一等奖的3人分别记为A1,A2,A3，

只有数学一科为一等奖的2人分别记为B1,B2,只有语文一科为一等奖的1人记为C， 则在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取两人的基本事件有：

A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C, 共有15个， ………9分

记“两人两科成绩均为一等奖”为事件M

则事件M包含的基本事件有A1A2,A1A3,A2A3，共3个，………10分

?P(M)?315?15 ………11分 故两人两科成绩均为一等奖的概率为15．………12分

19.解：（Ⅰ）连接AE，在平行四边形ABCD中，

BC?2AB?4，?ABC?60?，

∴AE?2，ED?23，

从而有AE2?ED2?AD2，∴AE?ED．……1分

∵PA?平面ABCD，ED?平面ABCD，∴PA?ED，………2分 又∵PA?AE?A，PA,AE?平面PAE，

∴ED?平面PAE， ……3分

P又∵AF?平面PAE，∴ED?AF．……4分 又∵PA?AE?2，F为PE的中点，

∴AF?PE ……5分

F又∵PE?ED?E，PE,ED?平面PED A∴AF?平面PED． ……6分

D（Ⅱ）设点C到平面PED的距离为d， BEC 由ED?平面PAE，PE?平面PAE得DE?PE……7分

在Rt△PED中，PE?22，ED?23，∴S△PED?26 ……8分

（Ⅲ）两科均为一等奖的考生共有