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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，理1，5分】i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．．（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 【答案】A

【解析】i607?i4?151?i3??i，共轭复数为i，故选A．

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石 【答案】B

28【解析】依题意，这批米内夹谷约为?1534?169石，故选B．

254【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． （3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式

系数和为（ ） （A）212（B）211（C）210（D）29

【答案】D

37【解析】因为(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn，解得n?10，所以二项式(1?x)n ?Cn1中奇数项的二项式系数和为?210?29，故选D．

2【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．

2（4）【2015年湖北，理4，5分】设X?N(?1,?12)，Y?N(?2,?2)，这两个正态分布密

度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

（A）P(Y??2)?P(Y??1) （B）P(X??2)?P(X??1)

（C）对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t) （D）对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t) 【答案】C

【解析】正态分布密度曲线图象关于x??对称，所以?1??2，从图中容易得到

P?X?t??P?Y?t?，故选C．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数?和标准差?这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

（5）【2015年湖北，理5，5分】设a1,a2,?,an?R，n?3．若p：a1,a2,?,an成等比数列；

222222q：(a12?a2???an?1)(a2?a3???an)?(a1a2?a2a3???an?1an)，则（ ）

（A）p是q的充分条件，但不是q的必要条件 （B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件 （C）p是q的充分必要条件 （D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】A

a【解析】对命题p:a1,a2,?,an成等比数列，则公比q?n?n?3?且an?0；

an?1222222???an对命题q，①当an?0时，(a12?a2?1)(a2?a3???an)?(a1a2?a2a3???an?1an)成立； 222222???an②当an?0时，根据柯西不等式，等式(a12?a2?1)(a2?a3???an)?(a1a2?a2a3???an?1an)成

立，则

aa1a2??????n?1，所以a1,a2,?,an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要 a2a3an条件．故选A．

1

?1,x?0,?g(x)?f(x)?f(ax)(a?1)，（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数sgnx??0,x?0, f(x)是R上的增函数，

??1,x?0.?则（ ）

（A）sgn[g(x)]?sgnx （B）sgn[g(x)]??sgnx （C）sgn[g(x)]?sgn[f(x)] （D）sgn[g(x)]??sgn[f(x)] 【答案】B 【解析】因为f(x)是R上的增函数，令f(x)?x，所以g?x???1?a?x，因为a?1，所以g?x?是R上的减函数，

?1,x?0,?1,x?0,??由符号函数sgnx??0,x?0,知，sgnx??0,x?0,??sgnx，故选B．

??1,x?0.??1,x?0.??（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x?y?“|x?y|?1”的概率，p2为事件211”的概率，p3为事件“xy?”的概率，则（ ） 22（A）p1?p2?p3 （B）p2?p3?p1 （C）p3?p1?p2 （D）p3?p2?p1 【答案】B

【解析】因为x,y??0,1?，

对事件“x?y?1”如图（1）阴影部分S1， 21对事件“x?y?”，如图（2）阴影部分S2，

21对事件“xy?”，如图（3）阴影部分S3，

2由图知，阴影部分的面积从下到大依次是S2?S3?S1，正方形的面积为1?1?1，根据几何概型公式可

得p2?p3?p1，故选B．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)

个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）

（A）对任意的a,b，e1?e2 （B）当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2

（C）对任意的a,b，e1?e2 （D）当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 【答案】D

22?a?m???b?m?a2?b2?b??b?m?【解析】依题意，e1??1???，e2??1???， aa?m?a??a?m?bb?mab?bm?ab?amm?b?a???因为?，由于m?0，a?0，b?0， aa?ma?a?m?a?a?m?22bb?mbb?m?b??b?m?当a?b时，0??1，0?，?????1，??，所以e1?e2；

aa?maa?m?a??a?m?22bb?mbb?m?b??b?m?当a?b时，?1，，所以?????1，而??，所以e1?e2．

aa?maa?m?a??a?m?所以当a?b时，e1?e2，当a?b时，e1?e2，故选D．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． （9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合A?{(x,y)x2?y2?1,x,y?Z}，B?{(x,y)|x|?2,|y|?2,x,y?Z}，

定义集合A?B?{(x1?x2,y1?y2)(x1,y1)?A,(x2,y2)?B}，则A?B中元素的个数为（ ）

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（A）77 （B）49 （C）45 （D）30 【答案】C

【解析】因为集合A???x,y?x2所以集合A中有9个元素（即9个点）， ?y2?1,x,y?Z，

?即图中圆中的整点，集合B?{(x,y)|x|?2,|y|?2,x,y?Z} 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合

A?B?{(x1?x2,y1?y2)(x1,y1)?A,(x2,y2)?B}的元素可看作正方形A1B1C1D1

中的整点（除去四个顶点），即7?7?4?45个，故选C．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重

复的元素．

[x]表示不超过x的最大整数．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x?R， 若存在实数t，使得[t]?1，…，[t2]?2，

，则正整数n的最大值是（ ） [tn]?n同时成立．．．．

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

【答案】B

2244【解析】由[t]?1得1?t?2，由[t2]?2得2?t2?3，由??t???3得4?t?5，可得2?t?5，所以2?t?5； 5555?t?6?6?t?45矛盾，故正整数n的最 由[t3]?3得3?t3?4，所以6?t5?45，由?得，与t?5??大值是4，故选B．

【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．

二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答．．．．．．．．．．．

错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）

????????????????????（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB? ． 【答案】9

???????????????????????????????????2????????????2?【解析】因为OA?AB，OA?3，OA?OB?OA?OA?OB?OA?OA?OB?OA?32?9．

??【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．

xπ（12）【2015年湖北，理12，5分】函数f(x)?4cos2cos(?x)?2sinx?|ln(x?1)|的零点个

22数为 ． 【答案】2

x?x?【解析】因为f?x??4cos2cos??x??2sinx?ln?x?1??2?1?cosx?sinx?2sinx?ln?x?1??sin2x?ln?x?1?，

2?2?所以函数f?x?的零点个数为函数y?sin2x与y?ln?x?1?图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数f?x?由2个零点．

【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．

（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处

时测得公路北侧一山顶D在西偏北30?的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶 在西偏北75?的方向上，仰角为30?，则此山的高度CD? m．

【答案】1006 【解析】依题意，?BAC?30?，?ABC?105?，在?ABC中，由?ABC??BAC??ACB?180?，

600BC002m，所以?ACB?45?，因为AB?600，由正弦定理可得?，即BC?3在Rt?BCD中， ?sin45?sin30?CDCD因为?CBD?30?，BC?3002，所以tan30??，所以CD?1006m． ?BC3002【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通

过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的

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