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内容发布更新时间 : 2024/12/25 0:46:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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即:Ni?xi,yi??Nj?xj,yj??Nk?xk,yk??1 (由i,j,k轮换性知) 同理可证:Ni?xj,yj??Ni?xk,yk??0 (作业:证明:Ni?xj,yj??0?i?j?i,j,k?)

?Ni?xi,yi??1,Ni?xj,yj??0,Ni?xk,yk??0??0,i?j?j ????????Nx,y?0,Nx,y?1,Nx,y?0?Nj????jii?jjjjkkii1,i?j???N?x,y??0,N?x,y??0,N?x,y??1kjjkkk?kii因此

(2-12)

即形函数在自己节点上为1,在其余节点上为0。

2. 在单元上任意一点,三个形函数之和为1,即

Ni?x,y??Nj?x,y??Nk?x,y??1。

证明:

?ai?aj?ak??xjyk?xkyj???xkyj?xiyk???xiyj?xjyi??2Abi?bj?bk??yj?yk???yk?yi???yi?yj??0ci?cj?ck??xk?xj???xi?xk???xj?xi??0 (2-13)

?Ni?x,y??Nj?x,y??Nk?x,y??1由此可见,三个形函数中只有2个是独立的,即第三个可由其余两个表示。

3. ij边上的形函数Ni?i?i,j,k?与节点k的坐标无关(i,j, k轮换),即在ij边上有:

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x?xi???Nx,y?1??ixj?xi??x?xi???Nx,y? (i,j, k轮换) (2-14) ?jxj?xi??N?x,y??0?k??证明:设 节点i 坐标:?xi,yi?,节点j 坐标:?xj,yj?。 求:ij 边的直线方程。

在ij边上: 由性质2 :

即在i ,j 边上有:

x?xi???Nx,y?1??ixj?xi??x?xi? (2-15) ?Nj?x,y??x?xji??N?x,y??0?k??证毕。 同理知:(轮换)

在jk边上有: 在ki 边上有:

几何表示:

五、三角形单元位移函数的收敛性

(要点提示:单元位移函数的三条收敛准则及意义)

下面我们来验证所设的位移函数??u??1??2x??3y 满足收敛准则(三条)。

?v??4??5x??6y1、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移(包含有)

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??u??x??x???v由几何方程:??y? 寻找物体发生刚体位移的条件。

?y???u?v????xy?y?x?若物体发生刚体位移,则有:

由?xy?0得:

?f1?y??f2?x?df?y?df2?x? ??0 ??1??y?xdydx等式两侧分别为x和y的函数,要使其相等只有:

?f1?y??u0??y积分:? 式中u0,v0为积分常数

??fx?v??x0?2故位移:??u?f1?y??u0??y??x??y??xy?0

?v?f2?x??v0??x即:(不难证明)以上两项是发生刚体位移的充要条件。 因为这是?x??y??xy的情形。故: 事实上,将位移函数改变形式为:

显然可看出:

???1?体现x方向的刚体位移(与x,y无关)?x,y无关)??4?体现y方向的刚体位移(与 (其它系数意义后述)

????3?5?体现绕z转的刚体转动?22、

单元位移函数解反映单元的常应变

??u??2??x??x???v????6 ?y?y???u?v?????3??5?xy?y?x???u??x??x???v??由: 可以?y?y???u?v????xy?y?x?11?xy???????3??5????3??5?

22得到:

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