中考数学压轴题解题策略(2)相似三角形的存在性问题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:12:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

中考数学压轴题解题策略(2)

相似三角形的存在性问题解题策略

《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4.

应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6.

应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).

例题解析

例? 如图1-1,抛物线y?123,与x?x?4与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)

82y轴交于点C.动直线EF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动.是否存在t,使得△BPF与△ABC相似.若存在,试求出t的值;若不存在,请说明理由.

图1-1

【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B,那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边.

123x?x?4,可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4). 82CECO1于是得到BA=4,BC=45.还可得到??.

EFOB2△ABC是确定的.由y?△BPF中,BP=2t,那么BF的长用含t的式子表示出来,问题就解决了. 在Rt△EFC中,CE=t,EF=2t,所以CF?5t. 因此BF?45?5t?5(4?t).

于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当

4BABP42tt?时,.解得(如图1-2). ??3BCBF455(4?t)②当

BABF2045(4?t)时,.解得t?(如图1-3). ??BCBP72t45

图1-2 图1-3

例? 如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的解析式; (2)连结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

图2-1

【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢?

本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点M的坐标,为第(2)题求∠AOM的大小作铺垫;求得了∠AOM的大小,第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角.

(1)如图2-2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.容易得到A(?1,3).

再由A(?1,3)、B(2,0)两点,可求得抛物线的解析式为y?3223x?x. 33(2)由y?3223333,得顶点M (1,?x?x?(x?1)2?).

333333.所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. 3所以tan?BOM?

图2-2

(3)由A(?1,3)、B(2,0),可得∠ABO=30°.

《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社

因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. 所以△ABC与△AOM相似,存在两种情况: ①当

BAOABA23. ??3时,BC???2.此时C(4,0)(如图2-3)

BCOM33BCOA. ??3时,BC?3BA?3?23?6.此时C(8,0)(如图2-4)

BAOM②当

图2-3 图2-4

例? 如图3-1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点,与y轴交于点D,顶点为C.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

图3-1

【解析】△AMN是直角三角形,因此必须先证明△BCD是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.

(1)抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.

(2)由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,得D(0,-3),C(2, 1).

如图3-2,由B(3, 0)、D(0,-3)、C(2, 1),可知∠CBO=45°,∠DBO=45°. 所以∠CBD=90°,且

BC21??. BD323

图3-2 图3-3 图3-4