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中考数学压轴题解题策略（2）

相似三角形的存在性问题解题策略

《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．

应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

例题解析

例? 如图1-1，抛物线y?123，与x?x?4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）

82y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1-1

【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．

123x?x?4，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)． 82CECO1于是得到BA＝4，BC＝45．还可得到??．

EFOB2△ABC是确定的．由y?△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以CF?5t． 因此BF?45?5t?5(4?t)．

于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当

4BABP42tt?时，．解得（如图1-2）． ??3BCBF455(4?t)②当

BABF2045(4?t)时，．解得t?（如图1-3）． ??BCBP72t45

图1-2 图1-3

例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的解析式； （2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图2-1

【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？

本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．

（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A(?1,3)．

再由A(?1,3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y?3223x?x． 33（2）由y?3223333，得顶点M (1,?x?x?(x?1)2?)．

333333．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． 3所以tan?BOM?

图2-2

（3）由A(?1,3)、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．

《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． 所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①当

BAOABA23． ??3时，BC???2．此时C(4,0)（如图2-3）

BCOM33BCOA． ??3时，BC?3BA?3?23?6．此时C(8,0)（如图2-4）

BAOM②当

图2-3 图2-4

例? 如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图3-1

【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．

（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．

（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)．

如图3-2，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°． 所以∠CBD＝90°，且

BC21??． BD323

图3-2 图3-3 图3-4