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《数学分析I》第14讲教案

第14讲 柯西中值定理与洛必达法则

授课题目 柯西中值定理与洛必达法则 教学内容 1. 柯西中值定理；2. 洛必达法则． 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限, 掌握洛必达法则0型定理的证明. 0教学重点：洛必达法则求各种不定式极限； 教学难点：洛必达法则定理的证明. (1) 本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法. (2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则． (3) 本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是型的证明，但要求学生掌握洛必达法? 则?0型定理的证明． 0(4) 了解柯西中值定理. 作业布置 作业内容：教材 P133:2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）. 讲授内容

一、柯西中值定理

定理6.5(柯西（cauchy）中值定理) 设函数f和g满足 (i)在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)上都可导；(iii)f?(x)和g?(x)不同时为零；(iv)g(a)?g(b), 则存在??(a,b),使得

f?(?)f(b)?f(a)?.

g?(?)g(b)?g(a)证：作辅助函数F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(g(x)?g(a)).易见F(x)在[a,b])上满足罗尔定理

g(b)?g(a)f(b)?f(a)g?(?)?0.

g(b)?g(a)条件，故存在??(a,b)，使得F?(?)?f?(?)?因为g?(?)?0 (否则由上式f?(?)也为零)，所以得证.

例1 设函数f在[a,b](a?0)上连续，在(a,b)内可导，则存在??(a,b)，使得 f(b)?f(a)??f?(?)lnb. a 证：设g(x)?lnx，显然它在[a,b]上与f(x)一起满足柯西中值定理条件，于是存在??(a,b)，使得

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f(b)?f(a)f?(?)?.整理便得所要证明的等式．

1lnb?lna?二、不定式极限

现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L’Hospital)法则． 1．

0型不定式极限 0x?x0x?x0?定理6.6 若函数f和g满足：(i)limf(x)?limg(x)?0；(ii)在点x0的某空心邻域U(x0)内两者都

可导，且g?(x)?0；limx?x0f?(x)f(x)f?(x)?A(A可为实数，也可为??或?)，则lim?lim?A.

x?xx?x??00g(x)g(x)g(x)? 证：补充定义f(x0)?g(x0)?0，使得f与g在点x0处连续．任取x?U(x0)，在区间[x0,x] (或[x,x0]

上应用柯西中值定理，有

f(x)?f(x0)f?(?)f(x)f?(?)?,即? (?介于x0与x之间).

g(x)?g(x0)g?(?)g(x)g?(?)当令x?x0时,也有??x0,使得limx?x0f(x)f?(?)f?(x)?lim?lim?A. g(x)x?x0g?(?)x?x0g?(x)?? 注意 若将定理6.6中x?x0 换成x?x0,x?x0,x???,x??,也可得到同样的结论.

例2 求 lim1?cosx.

x??tan2x2 解：容易检验f(x)?1?cosx与g(x)?tanx在点x0??的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因

f?(x)?sinxco3sx1?lim??lim? limx??g?(x)x??2tanxsec2xx??22故由洛必达法则求得limx??f(x)f?(x)1?lim?. x???g(x)g(x)212例3 求limx?0e?(1?2x). 2ln(1?x)22x解：利用ln(1?x)～x(x?0),则得

ex?(1?2x)ex?(1?2x)ex?(1?2x)lim?lim?limx?0x?0x?02xln(1?x2)x2例4 lim?求

x?01212?12ex?(1?2x)=limx?02?32?2?1 2x1?ex.

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解：这是

0型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解．但若作适当变换，在计算上可方便些．为此，0??令t?x，当x?0时有t?0，于是有lim?t?0exx1?e?lim?t?0t1?lim??1. tt?t?01?e?e2．

?型不定式极限 ?x?x0x?x00定理6.7 若函数f和g满足：(i) lim?f(x)?lim?g(x)??;ii）在某右邻域U?(x0)内两者都可导，

且g?(x)?0;（iii）lim?x?x0f?(x)f(x)f?(x)?A(A可为实数，也可为±?,?)，则lim?lim?A.

x?xx?x??g(x)g(x)g(x)?0?0?注：定理6.7对于x?x0,x?x0。或x???,x??等情形也有相同的结论．

例5 求limlnx(lnx)?1lnxlim?lim?lim?0. 解：.x???xx???(x)?x???xx???xexexexexex?lim?lim???. 例6 求lim3. 解：lim3?limx???xx???3x2x???6xx???6x???x注：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解．首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件．limx?sinx??1，虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：

x??x?x?sinx1?cosxlim?lim, 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． x??x??x1?00 3．其他类型不定式极限

不定式极限还有0??,1,0,????等类型．它们一般均可化为例7 求

0?型或型的极限。 0?x?0?limxlnx.

1lnx?lim?x?lim?(?x)?0. 解：这是一个0??型不定式极限，lim?xlnx?lim?x?0x?0x?0x?011?2xx1x例8 求lim(cosx).

x?011lncosx2解：这是一个“1”型不定式极限．作恒等变形(cosx)其指数部分的极限limx?0?x2?ex2,

10lncosx是型不定式极限，可先求得 20x11?lncosx?tanx1x2lim?lim??, 从而得到lim(cosx)?e2。 2x?0x?0x?02x2x 3

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k1?lnx例9 求lim?(sinx)x?0 （k为常数）。

解：这是一个0型不定式极限，按上例变形的方法，先求

0?型极限： ?kcosxklnsinxx?lim?sinx?lim?kcosx??k, lim?x?01?lnxx?0x?01sinxx然后得到 lim?(sinx)x?0k1?lnx?ek (k?0)。当k=0时上面所得的结果显然成立．

21lnx例10 求lim(x?1?x)x???。

解 这是一个?型不定式极限．类似地先求其对数的极限(

0?型)： ?11ln(x?1?x2)1?x2?lim?1,于是有lim(x?1?x2)lnx?e. limx???x???x??1lnxx例11 求lim(x?111?). x?1lnx0型的极限，即 0解：这是一个???型不定式极限，通分后化为

1?111lnx?x?11?x?11xlim(?)?lim?lim?lim?lim??. x?1x?1x?1(x?1)lnxx?1x?1x?1x?1?xlnxx?12?lnxlnx2?lnxx 例12 设 解：因为

f(x)?{g(x),x?0x 且已知g(0)0,x?0?g?(0)?0，g??(0)?3，试求f?(0).

f(x)?f(0)g(x)?2,所以由洛必达法则得

x?0xg(x)g?(x)1g?(x)?g?(0)13?lim?g??(0)?. f?(0)?lim2?limx?0xx?02x2x?0x?022注：(1)上例解法中，已知条件g(0)?0用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到f?(0)???lim例13 求数列极限lim(1?n??x?0g?(x)g??(x)13?lim?g??(0)?.错在何处? x?02x22211n?2) nn

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