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第三节 一次、二次函数的应用题

,中考重难点突破)

建立一(二)次函数模型或分段函数，解决生活中的实际问题，涉及两个方面，一如何建模，二如何根据自变

量的实际意义和函数的性质作出正确决策.

【例1】(2016龙岩中考)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品的单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息，如表所示：

销售量n(件) n＝50－x 销售单价 m(元/件) 1 当1≤x≤20时，m＝20＋x 2420 当21≤x≤30时，m＝10＋ x (1)第几天该商品的单价为25元/件？ (2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式； (3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

1

【学生解答】解：(1)分两种情况：①当1≤x≤20时，将m＝25代入m＝20＋x，解得x＝10；②当21≤x≤

2

420

30时，25＝10＋，解得x＝28，经检验，x＝28是方程的解，∴x＝28.答：第10天或第28天时该商品为25

x

112??元/件；(2)分两种情况：①当1≤x≤20时，y＝(m－10)n＝?20＋x－10?(50－x)＝－x＋15x＋500；②当22??

21≤x≤30

1

－x＋15x＋500（1≤x≤20），??242021 000??时，y＝?10＋－10?(50－x)＝－420，综上所述：y＝?xx??21 000??x－420（21≤x≤30）；

2

1211 22512

(3)①当1≤x≤20时，由y＝－x＋15x＋500＝－(x－15)＋，∵a＝－<0，∴当x＝15时，y最大值＝

2222

1 22521 00021 000

；②当21≤x≤30时，由y＝－420，可知y随x的增大而减小，∴当x＝21时，y最大值＝－2x21

1 225

420＝580(元)，∵580<，∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．

2

【例2】(2016邯郸模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是补脑的佳品，它的成本价为20元

2

/kg，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax＋bx－1 600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg元时，每天的销售利润为168元．

(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式； (2)当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为多少元？

(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？

(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？

2

【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x＋120x－1 600中计算所

22

得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x＋120x－1 600中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x＋120x－

2

1 600＝－2(x－30)＋200，所以当x＝29时利润最大．

2

【学生解答】解：(1)已知w＝ax＋bx－1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售

22

价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a×22＋b×22－1 600，168＝a×26＋b×26－1 600.解

2

得a＝－2，b＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w＝－2x＋120x－1 600；(2)

2

当x＝24时，有w＝－2×24＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为

2

128元；(3)当w＝150时，有w＝－2x＋120x－1 600＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵x≤32，∴x＝25.∴定价为25

22

元/kg；(4)w＝－2x＋120x－1 600＝－2(x－30)＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，∴

2

当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)＋200＝198.

【规律总结】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳答案．

模拟题区

1．(2016遵义红花岗三模)四川省第十二届运动会将于2015年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2 200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式； (2)该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

解：(1)总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1＝0.7[120x＋100(2x－100)]＋2 200＝224x－4 800，y2＝0.8[100(3x－100)]＝240x－8 000；(2)当y1＞y2时，即224x－4 800＞240x－8 000，解得x＜200；当y1＝y2时，即224x－4 800＝240x－8 000，解得x＝200；当y1＜y2时，即224x－4 800＜240x－8 000，解得x＞200.即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可在任一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．

2．(2016遵义六中三模)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x＋40 90 每天销量(件) 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果．

2

??－2x＋180x＋2 000（1≤x＜50），22

解：(1)y＝?(2)当1≤x＜50时，y＝－2x＋180x＋2 000＝－2(x－45)

?－120x＋12 000（50≤x≤90）；?

＋6 050，∵－2＜0，∴当x＝45时，y有最大值，最大值为6 050元；当50≤x≤90时，y＝－120x＋12 000，∵－120＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝50时，y有最大值，最大值为6 000元．∴销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6 050元；(3)41天．

中考真题区

3．(2016长春中考)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示．

(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；

(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．

解：(1)300÷(180÷1.5)＝2.5(h)．答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5 h；(2)设甲车返回时y与x

???300＝2.5k＋b，?k＝－100，

之间的函数关系式为y＝kx＋b，∴?解得?∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y

?0＝5.5k＋b.?b＝550，??

＝－100x＋550(2.5≤x≤5.5)；(3)300÷[(300－180)÷1.5]＝3.75 h，当x＝3.75时，y＝175 km，答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175 km.

4．(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：

?15x＋90（0＜x≤2），?y1＝?

?－5x＋130（2≤x＜6）.?