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福建省光泽县第二中学2014高中数学 2.4.2 等比中项及等比数列

的性质教案 新人教A版必修5

●课标要求：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 ●教学重点

等比中项的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

●教学设计思路：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：

an=q（q≠0） an?12.等比数列的通项公式: an?a1?qn?1(a1?q?0)， an?am?qn?m(am?q?0) 3．｛an｝成等比数列?数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课

一．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a, b同号）

分析：

如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，则

an?1?=q（n?N,q≠0） “an≠0”是数列｛an｝成等比an

Gb??G2?ab?G??ab， aG反之，若G=a b,则

2Gb?，即a, G, b成等比数列。 aG2所以a, G, b成等比数列?G=a b（a·b≠0） [范例讲解]

1. 课本P58例4

证明：设数列?an?的首项是a1，公比为q1;?bn?的首项为b1，公比为q2， 那么数列?an?bn?的第n项与第n+1项分别为：

a1?q1n?1?b1?q2与a1?q1?b1?q2即为a1b1(q1q2)n?1与a1b1(q1q2)nn?1nn

an?1?bn?1a1b1(q1q2)n???q1q2. n?1an?bna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以?an?bn?是一个以q1q2为公比的等比数列 2. 拓展探究：

(1)对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{

an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn?1?n?1 bnbn?1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn??cn?1bn?1abaq??(n?1)(n?1)?1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

ancnanbnq2bnbnan?1(2)当数列{an}与{bn}，是项数相同的两个等差数列时，数列{pan+qbn} (其中p，q 是常数)也是等差数列吗？（让学生课后讨论） 3．课本P59的练习4

已知数列{an}是等比数列，

（1）a5?a3a7是否成立？a5?a1a9成立吗？为什么？ （2）an?an?1an?1(n?1)是否成立？你据此能得到什么结论？

2an?an?kan?k(n?k?0)是否成立？你又能得到什么结论？ 222

结论：（引出下面本课第2个知识点）

二 ．等比数列的性质： 若m+n=p+k，则aman?apak

分析：

在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？

由定义得：am?a1qm?1 an?a1qn?1 ap?a1qp?1 ak?a1?qk?1 则am?an?a1qm?n?2 ，

2ap?ak?a1qp?k?2

所以： aman?apak Ⅲ.课堂练习

课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结

1．a, G, b成等比数列?G=a b（a·b≠0），且G为a ，b的等比中项 2．等比数列{an}中，若m+n=p+q，am?an?ap?aq 3．若?an??,bn?是项数相同的等比数列，则?an?bn?、{Ⅴ.课后作业

课本P60习题2.4A组的3、5题 ●配套习题：

A组 双基演练

1.

22an}也是等比数列 bn2?1和2?1的等比中项为： （D）

A 3?22 B ?3?22 C 1 D ?1 2．在等比数列{an}中a2a6?27则a3a5?多少 （A） A 27 B -27 C 27或-27 D 33

???kan??k?0?（2）?a2n?1?3． 知数列{an}是公比q?1的等比数列，给出下列六个数列：（1）

（3）?an?1?an?（4）?anan?1?（5）?nan?（6）an??，其中仍能构成等比数列的个数

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