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北 京 科 技 大 学

2013年硕士学位研究生入学考试试题

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试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共 2 页） 适用专业： 数学、统计学、固体力学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.

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一、填空题（每小题4分，共20分）

x?1x?101110x?710706x?8000x?278991. 设f(x)?，则f(x)中x3的系数

是 ，常数项等于 ．

2. 设四阶矩阵A的初等因子为(??1)2,(??2)2，则A的Jordan标准形是 .

3．设?为线性空间V的一个线性变换，且?2??，则?的特征值只能是 .

4. 设u是n维列向量，(u,u)?1, H?E?2uuT, 则??1是H的 重特征值.

?A0?*5. 设A、B分别是k阶和r阶可逆矩阵，D???，则D? ．

?CB?二(10分)、设f(x)?x4?x3?3x2?4x?1,g(x)?x3?x2?x?1. 求(f(x),g(x)).

三(20分)、设线性变换?在三维线性空间V的一组基?1,?2,?3下的矩阵是

?12?1???A??210?

?301???(1)求?在基?1,?2,?3下的矩阵，其中

1

??1?2?1??2?3?3???2??1??2?2?3 ?????????123?3(2) 求?的值域?(V)和核??1(0)；

(3) 把??1(0)的基扩充为V的基，并求?在这组基下的矩阵. 四(20分)、设S,A分别是Pn?n中的对称矩阵和反对称矩阵构成的子空间，

证明：Pn?n?S?A.

??1?33?3?????3?1?33?五(20分)、设实对称矩阵A??. （1）求可逆矩阵T，使得TTAT?3?3?1?3????33?3?1???成对角阵，并写出该对角矩阵；（2）求一个非退化线性替换把二次型

f(x)?xTAx化为标准形.

?n,?六(20分)、设A是一个n阶方阵，证明：rank(A?)??1,?0,?rank(A)?nrank(A)?n?1. rank(A)?n?1七(20分)、如果齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ???????????????an?1,1x1?an?1,2x2???an?1,nxn?0的系数矩阵为A，Mi是矩阵A中划去第i列所得到的(n?1)?(n?1)矩阵的行列式，证明：(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)T是该方程组的一个解.

八(20分)、 设P[x]3是次数不超过3的多项式全体连同0多项式构成的线性空间，

f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3?P[x]3, 现有P[x]3的线性变换?：

?(f(x))?(a0?2a1)?(?3a0?2a1)x?(2a2?3a3)x2?(?4a2?3a3)x3 求?的特征值及特征向量, 并判定?能否对角化.

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