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概率论与数理统计教程(第二版)-魏宗舒-第一章

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

(3) 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

b个???（3）?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，…?b?1表示黑?黑白，

则样本空间??{?1，?2，…，?b?1}， 当b被奇数时：A1?{?1,?3,?5,L,?b} 当b为偶数时：A2?{?1,?3,?5,L,?b?1}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？(4) 什么时候A?B成立？ 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是合格品。 解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];

i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；

i,j?1i?jn1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以

11?A5?2?3?6个样本点。于是 事件A“所得分数为既约分数”包含A32?2A3P(A)?2?3?69?。 8?7141.5 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一

词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含

3!2!2!2!48 ?13!13!1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所

3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A97个样本点，于是

7A9P(A)?7。

91.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以

10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???

10000?10?44