内容发布更新时间 : 2024/12/26 11:28:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十章补充习题

1 解：

ddxddx?(x)?3?(x)?'(x)，?'(x)?f1?f2?32ddxf(x,x)，

f(x,x)?f1(x,x)?f2(x,x)，

代入x=1，原式?3?12?[2?3(2?3)]?51

2答案(1)连续(2)都等于0(3)不可微。选自教材29页第十章补充题第4题。 3 解一 ：（直接法）方程两边同时对y求偏导，

y?z?yy2得2z?z??z??????y??????y?y??y??z?z. 因此解出

?z?y??z??z?y????z?????y??y??z?2yz?y?????y?.

解二： 设F(x,y,z)?x2?z2?y???z??， y??则 Fy?????zy??，Fz??2z???，故

?z?y??Fy?Fz????zy???2??z??2yz?y??2z???.

4解：隐函数

??u?f(x,y,z)?u = u (x)是由下列方程组确定的：?exy?xy?2?x?zsint?ex?dt?0t?

式中x是自变量，u, y, z都是x的一元函数. 对各方程的两边关于x求导，

?dudydz?fx??fy??fz??dxdx?dx?dy?dy??0. 得?exy?y?z??y?xdxdx????sin(x?z)?dz?x1??e???x?z?dx??① ② ③ - 1 -

由式②解出

dudydx??yx，由式③解出

dzdx?1?e(x?z)sin(x?z)x，再将这两式代入

x?e(x?z)?①中，得?fx??fy???1??fz?.

dxxsin(x?z)??y5 解：

?z?x?yf1??1yf2??yx2g?，

???x11?x1y???2f12????2f2???xf21???2f22????2g??3g?? ?f1??y?xf11?x?yyy?yx??y?x?z2 ?f1??1y2f?2?xyf??1?1xy31y???f???g?g2223xx???f21??) . (f126 解：对xex?yey?zez两边微分，得 exdx?xed?xxye?dyxyye?dy?ed，z zedzzzy 解得 dz?(1?x)edx?(1?y)edy(1?z)ez?1?x1?zex?zdx?1?y1?zey?zdy.

对u?f(x,y,z)两边微分，得du?fx?dx?fy?dy?fz?dz ??fx??fz???x?1z?1ex?zy?1y?z??e?dx??fy??fz?z?1????dy?.

第十一章补充习题

1解：设所求点P(x, y)，则P到直线2x+3y－6=0的距离为d?为简便，求解如下等价问题： F(x,y?,?)(?2x?3y2|2x?3y?6|13.

?6?)2?x(2?y4， 4)令

?F??4(2x?3y?6)?2?x?0x??Fy??6(2x?3y?6)?8?y?0?22?F???x?4y?4?0① ② ③ 式①乘6与式②乘4比较，得3x = 8y. 再与式③联立，解得 x1?85，y1?35；x2??，y2??5835. 计算d(x1,y1)?113d，

(x2,y2)?1113.

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由问题的实际意义最短距离存在，因此?,?即为所求点.

?55??83?2 解：法平面法矢量 n=(2,-3,4).直线方向矢量 s=(7,6,1). n?s?0。法平面与直线夹角为0.

3 解：Largrange 乘数法，条件极值。设长宽高为x,y,z。

????S=2(xy+yz+zx), 其中xyz=2。 答案为x=y=z=2米。

第十二章补充习题

1 答案C 解：设??f(u,v)dudv?a，所以??(xy?a)dxdy?a，

DD所以

112?13a?a，a?18

2 答案B 解：交换积分顺序

F(t)??t1dx?x1f(x)dy??t1(x?1)f(x)dx。

F'(t)?(t?1)f(t),F'(2)?f(2)

3 解：积分区域如右图中的直角△ABC所示. 连结OB，记△OAB区域为D1， △OBC区域为D2， △OBH区域为D3，

1原式???y[1?xeD12(x?y)22]dxdy???ydxdy???xyeD2D2?12dxdy.

式中第1个积分为0，理由是：D1关于x轴对称，被积函数关于y为奇函数；第3个积分也为0，理由是：D2关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数. 原式???D2ydxdy?2??ydxdy?2?dx?0D31?x?1ydy??10(x?1)dx??223.

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4 解：原式??112dx?2edy?xxyx?112x(e?e)dx?x38e?12e. 5 解：令D1?{(x,y)|x2?y2?4},D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}，

由对称性，??yd??0.

D??Dx?yd??22??D13?x?yd??22??D2x?yd?

22??2?0d??rdr?02??22d???2cos?0rdr?216?3?329?169(3??2)

6 解：旋转面方程z?12(x?y)，用柱坐标计算。柱坐标积分区域不等式0?r?8,12r?z?4。答案=

222或积分限：0???2?,2563dx?。

7 解1：L:y??1?x2，?1?x?1，ds?1?y?2dx? 原式?11?x2.

?1?1(x?1?x)2211?x2dx??1?1dx?[arcsinx]?1??1.

解2：由题意，在L上有x2+y2 = 1，故原式??Lds??.

8 解：?在xOy平面上的投影区域 D：x2+y2≤2x.

dS?1?zx?zyd???222d????zdS???Dx?y?222d??2?2??2d??2cos?0rdr

2?163?2?2cos?d??033292.

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第十三章补充习题

1 答案B 解：设出P(x,y),Q(x,y) ,由于Py?Qx， x化简即为f'(x)?f(x)?e，此微分方程通解e12?x?e2x????2?C?， ??由f(0)?0,C??,即B答案

2 解1： 写出曲线C参量方程，x?cost,y?sint,z?2?cost?sint 代入化为定积分，只剩下积分变量为dy的一项??2?（其中积分变量为dx,dz的两项积分为0）. 解2： 用斯托克斯公式 ?2?0cost??2?。

2??2dxdyS??2??dxdy??2?。S是平面的下侧，

Dxy所以二重积分取负号。D是该椭圆在xoy坐标平面投影为单位圆。 3 解： 将y=asinx代入曲线积分化为定积分，积分结果???4a?对函数I(a)???4a?43343a。

3a求驻点，用极值充分条件判断，a=1积分值取

最小值，所求曲线y=sinx

4 解：由曲线积分与路径载关的条件知 计算

?Q?x???y(2xy)?2x?Q(x,?y)?x122C（其中(y)2C(y)为待定函数）.

1??(t,1)(0,0)(1t,2xydx?Q(x,y)dy?2xyd?x10)?0[t?C(y)]dy?t?t2?0tC(y)dyt，

(0,0)Q(,x)y?d?y0[1?(C)y]?d?y?0(. C)ydy由题设，t2??C(y)dy?t??t0C(y)dy，

两边对t求导，2t?1?C(t)?C(t)?2t?1?C(y)?2y?1.

?故 Q(x,y)2x?2y?. 15 解：补∑0:z = 0(x2+y2≤a2)，方向向下. 设由Σ和Σ0所围区域记为Ω根据

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