内容发布更新时间 : 2024/12/25 23:46:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

13．求曲面z?3x2?2y2在点P0(1,

2,11)处的切平面和法线方程。

解答:切平面：z?11?6(x?1)?8(y?2)

法线：

x?16?y?28?z?11?1

14．将函数f(x)?x22?(???x??)展开成Fourier级数。

解答： a0???0xdx?22?32

an?2???0?4?4?cosn??n22xcosnxdx???2?n??42??n2n偶 n奇 f(x)??3?4(cosx12?cos2x22?cos3x32)?????x??

15．求过点M(2,0,3)且垂直于平面?：4x?y?z?5?0的直线方程。 解答:

x?24?y1?z?3?1

16．求方程2y??y?ex的通解。

12xxx解答：c(x)??e2dx?e2?c

x2 y?c(x)e2?ce?e

xa22x17．计算曲线积分?xdy?ydx，其中：积分路径为在椭圆

L?yb22?1上，

从点A(a,0)经第一象限到点B(0b)。

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?x?acost?解答:??y?bsint??A?t?oB?t?12?

?ABxdy?ydx??02[acostbcost?bsinta(?sint)]dt

???02abdt?12?ab

18．计算二重积分

x?y22??D2222(x?y)d?，其中D是由x?y?1和

?9所围成的环形区域在第一象限的部分。

?解答:??D(x?y)d??22??Drdrd???02d??1rdr?333?8(81?1)?10?

?19．求幂级数?n?11nn(x?2)的收敛域。

?解答：令x?2?y，则?n?11n

n

y ?liman?1ann???1

故R?1??1?y?1，从而（1，3）是收敛区间。

?又因当 x?1时，?n?11n?(?1)收敛 。当x?3 ，?n?1n1n发散

∴级数收敛域是[1，3)

三、解答下列各题（每小题7分，共14分）

20．求侧面积为常数6a(a?0)，体积最大的长方体体积。

解答：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，体积为V 则V=f(x,y,z)?xyz

??2(yz?zx?xy)?6a)?0 （1） 设?为参数

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22求F?xyz??(2yz?2zx?2xy?6a2)的无条件极值。 令?Fx?0????Fy?0???F?0?z因x,y,z?0???0，并利用(1)式?xFx?0?变形?yFy?0??zFz?0?3a?yz?3a?zx?3a?xy

222从而x?y?z?a?V?a3 21．计算曲面积分I???(x?1)dydzS?ydzdx?dxdy，

其中S是三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的四面体表面的外侧。 解答：P?x?1Q?yR?1

?P?x?1?Q?y?1?R?z?0

由O—G公式：?????V2dv?2?16?1?1?1?13

四、解答下列各题（22题7分，23题5分，共12分）

xx22．设f(x)为连续函数，且适合关系式f(x)?e??0(x?t)f(t)dt，试

求函数f(x)。

xx解答：?f(x)?e??0(x?t)f(t)dt令y?f(x)

xxxx则y'?c??0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?e??0f(t)dt

y''?e?f(x)x即y''?y?e ??1?0????i

x2?y1?c1cosx?c2sinx

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设y*?ae*得aex?aex?ex?a?12

?f(x)?cx?1ex1cosx?c2sin2

又?f(o)?1f'(o)?1?c11?c2?2

?f(x)?1(cosx?sinx?ex2)

23．若

f(x)在

?a,b?上连续且恒大于零，?b)dx?b1af(xaf(x)dx?(b?a)2。

证明：将左边看成是矩形域上的二重积分。

设A=?bf(x)dx?b1aaf(x)dx

则A=?bf(x)dx??bdyf(x)aaf(y)???Df(y)dxdy

其中D：a?x?ba?y?b

同理A=??f(y)f(x)dxdy

D故A=

1f(x))2??[f(y)?f(yDf(x)]dxdy

由题设知f(x)))f(y)?f(y)f(x)?2f(xf(y)?f(yf(x)?2

所以A???dxdy?(a?b)2

D

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试证

高等数学（下）期末考试模拟试题（二）

一. 1.{(x,y)y2?4x且0﹤x2?y2﹤1} 2. ?4. 2 5.

二.

1 2 3 4 5 6 7 1312?x ，f(x,y) 3. e

?c2e?3x?10dx?2?xx3f(x,y)dy 6. 5 7. y?c1e?e?2x

三. 计算（每小题6分，共36分）

C D C B A B C 1. 解：参数t = 1对应曲线上点(1,1,1)

xt?1，yt?2t，zt?3t， 故xt(1)?1，yt(1)?2，zt(1)?3

2曲线在点(1,1,1)处的切线方程为

x?11?y?12?z?13

法平面方程为 (x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0即x?2y?3z?6?0

22. 解：zx?3x?3y，zy?3y?3x

2 令zx?0，zy?0，得驻点(0,0)和(1,1) 又zxx?6x，zxy??3，zyy?6y 在(0,0)点，zxy?zxxzyy﹥0，所以(0,0)不是极值点 在(1,1)点，zxy?zxxzyy﹤0，zxx﹥0， 所以(1,1)是极小值点，z极小??1 3．解：x?acost,y?asint ，dl??22xt?ytdt?adt

222

?L(x?y)dl=?2??2a(cost?sint)dt?2a

24、解： 根据奥-高公式，

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