内容发布更新时间 : 2024/4/20 17:54:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

原式 = 3???(x?y?z)dxdydzV222=3?2?0d???0sin?d??a04rdr=

1252?a

5. 解：limun?1unn???x，由x2﹤1得收敛区间(?1,1)，

2又x??1时级数均收敛，故收敛域为[?1,1]

? 记?0(?1)n2n?1x2n?1?s(x)，

?则s?(x)?x0?0(?1)x1n2n?11?x2，

故s(x)???1?x2dx?arctanx

?0(?1)n2n?1=s(1)??4

?P(x)dxP(x)dx 6. 解：y?e?[?Q(x)e?dx?C]

= e2x[?ex?e?2xdx?C] = ?e?Cex2x

四.计算（每小题6分，共12分）

1. z?f(xy,2yx)，求yx2?z?x，

?z?x?y2

解：zx?2xyf1??f2?

1x??)?f121x22???zxy?2xf1??2xy(xf11f2??yx3yx22???(xf211x??) f22 = 2xf1??1x23???yf12???f2??2xyf11?? f22??f?(x) 2. 解：Py??sin2x?f(x)tanx, Qx- 16 -

?，得一阶微分方程f?(x)?f(x)tanx?sin2x Py??Qx?tanxdxtanxdx f(x)= e?[?sin2x?e?dx?c]?cosx(?2cosx?c)

由f(0)??2得c = 0，所以f(x)= ?2cos2x 五.证明题（每小题5分，共10分）

1. 证明：ux?f1??f3?，uy??f1??f2?，uz??f2??f3? 所以ux?uy?uz?0 2. 证明：x?tanx的正根在(k?,k???2)内，（k = 0，1，2，?）

故xn﹥(n?1)?，从n = 2开始有

1x2n﹤

1?(n?1)22

? 而?21?2?(n?1)2收敛，故级数?11x2n收敛

高等数学（下）期末考试模拟试题（三）

?一 1 两个平面的法向量为 n1?(k,1,?2),??n1?n2?0，故2k+4-6=0, k=1.

???n2?(2,4,3)，n1?n2，

2 ux??x?y?z2222222(x?y?z), uy??2xy(x?y?z)2222,ux??2xz(x?y?z)2222

?二 1 首先易知vn?0， 因为?vn收敛，

n?1?所以limvn?0,n??limSn??，所以?un发散。

n??n?1- 17 -

2 an?n4n?1， liman?1ann???lim(n?1)4n4n?1n?2n???4，

所以收敛半径 r?14n， 收敛区间(?11,)。 44?三 设S(x)??n?1xx?n1， S'(x)??n?1xn?1?11?x， |x|?1。

所以S(x)??01?xdx?ln11?x， |x|?1。

四 特征根是r1?3?2i与r2?3?2i，特征方程是 ?2?6??13?0，

微分方程是 y\?6y'?13y?0，通解是y?e3x(C1cos2x?C2sin2x)。 五 由于x2+y2+z2 = a2，代入原式中得

I????axdydz?(z?a)dxdy12?1(x?y?z)2222??axdydz?(z?a)a?2dxdy.

补?1:z = 0(x2+y2≤a2)，方向向下，其投影域记为D.设?与?1所围的区域记为?根据奥一高公式，有

I?1?2axdydz?(z?a)dxdy?????a?????11?a?2z)d?v?????(3a???2axdydz?(z?a)dxdy? ????1??ad?x dy???. ? ???D2 ?1?44??2?a?2???zdv??aa?? 用“先二后一”（也可以使用柱面坐标）计算

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???Dzdv??0?azdz2x?y?a?z2??dxdy?22?0?a?z(a?z)dz??22?4a.

4 于是 I?1??4??4??a?a??a??a?22?3.

六 极坐标系下进行运算

I???sinDx?ydxdy?2?22??sinDr?rdrd???2?0d???2?rsinrdr

?(2?)(?rcosr?sinr)|???1?xy??6?2七 P?e1?xyy， Q?ex2?y2x ，Py?Qx?(1?xy)e。由格林公式或

与路径无关都可得原式=0.

xy'?y1?(y')2八 ?x， y'?y?x2xy22，这是齐次方程。

2?y?22?1??C通解x?，y(1)=2，得C=5. 特解曲线方程 x?y?5x。 2??x??九 Ω的上顶面是z=2y，下底面是z=0。 其余侧面是垂直与xoy坐标平面。Ω在xoy坐标平面投影为x=1,x=2,y=0,y=x围成。

2x2I??1dx?1x?y20dy?2y0dz?ln2

十 证明： f( t x, t y)=t f ( x, y)两边对t求导，令t=1， 得xfx(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y)，

以 x0,y0以及z0?f(x0,y0)代入上式，

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得x0fx(x0,y0)?y0fy(x0,y0)?z0，

?曲面的法向量 n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1),直线方向向量

???s?(x0,y0,z0)。 n?s?x0fx(x0,y0)?y0fy(x0,y0)?z0?0。

所以法向量与方向向量垂直，法线与直线垂直。

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