内容发布更新时间 : 2024/9/29 11:23:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题集训6 最值问题

一、选择题

1．如图，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( B )

A．1 B.3 C．2 D.5

,第1题图) ,第2题图)

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( B )

A．BC B．CE C．AD D．AC

【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，可得点B和点C关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时BP＋EP最小，为CE的长，故选B.

二、填空题

3．如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为__(，0)__．

23

【解析】如图，作点B关于x轴对称的点B′，连结AB′，交x轴于P，则点P即为所求，设直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝－x＋a，把A(2，－4)代入可得，

a＝－2，∴平移后的直线为y＝－x－2，令x＝0，则y＝－2，即B(0，－2)∴B′(0，2)，

??－4＝2k＋b，

设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，把A(2，－4)，B′(0，2)代入可得，?解

?2＝b，?

得?

?k＝－3，?

22

∴直线AB′的解析式为y＝－3x＋2，令y＝0，则x＝，∴P(，0)．

33??b＝2，

,第3题图) ,第4题图)

4．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y3

＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__22__．

4

【解析】连结AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线

34

y＝－x＋3时，PQ最小，∴

PQ＝32－12＝22.

三、解答题

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．

(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__；

(2)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

解： 2

(2)连结OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当

OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴ D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝.∴点P的纵坐标是－.则x－2x－3＝－， 解得x＝

1232322322±102＋1032－103.∴当EF最短时，点P的坐标是：(，－)或(，－) 222226．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连结BF.

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动． ①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；

②若限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

解：(1)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝FE＝EP，∴四边形BFEP为菱形

(2)①如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5 cm，在Rt△CDE中，DE＝CE－CD，∴DE＝4 cm，∴AE＝AD－DE＝5 cm－4 cm＝1 cm，在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE，∴EP＝1＋(3－EP)，解得：EP＝ cm.∴菱形BFEP的边长为 cm； 2222225353 ②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE＝1 cm；当点P与点A重合时，如图3，点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形，AE＝AB＝3 cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm