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具有干扰因素的食饵-捕食者模型分析

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目录

目 录

摘要………………………………………………………………… 第一部分 前言……………………………………………………… 1.1 生态数学的的研究背景及发展………………………………… 1.2 基础知识………………………………………………………… 第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究…………

2.1 Lotka-Volterra模型……………………………………………… 2.2 模型的研究对象及改进………………………………………… 2.3 模型的稳定性的研究……………………………………………

第三部分 数值模拟

3.1 利用matlab对模型进行了数值模拟……………………………

3.2 模型缺陷………………………………………………………… 第四部分 总结………………………………………………………

致谢…………………………………………………………………

参考文献………………………………………………………………

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第一部分 前言 第一部分 前言

1.1 生态数学的的研究背景及发展

生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是多层次的、多因子的、多变量的系统，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞不清楚它的内在规律，运用数学模型对生态系统实行管理、预测和调控，使其持续稳定发展是现代生态学研究的重要领域。种群动力学是生态学的一个重要分支.它广泛地利用数学思想加积分方程、差分方程、泛函微分方程、偏微分方程、算子理论等数学学科中的理论和方法，通过数学建模研究生物种群的生存条件、生物种群与环境之间相互作用的过程、生物种群的演变和发展趋势.揭示生物种群的变化规律，合理利用资源，促进生态平衡这是迄今为止数学在生态学中应用深入，发展最为系统和成熟的分支，种群 动 力 学的研究有着悠久的历史.早在1798年，Malthus在研究人类的增长时，他引入数学方法，建立了最早的连续确定模型一一Malth。模型

dN(t)/dt?rN(t)

这是一个单种群模型.它反应了人类数量的变化，在t不很长时是比较符合实际的，但当

t???时种群规模将无限增长是不合实际的，究其原因在于它没有考虑到有限的资源对种

群增长的制约作用.针对这个模型，后人不断分析各种因素的影响，完善和改进这一模型，使之能较好地反应人口(单种群)的变化规律，如P. F.Verhulst(1938年)建立的Logistic模型

dN(t)/dt?rN(t)(1?N(t)/k) E.M .W right(1945年)建立的有确定时滞的Logistic模型 dN(t)/dt?rN(t)(1?N(t?r)/k)

P. M. Nisbet和W. S. C. Gurney(1984年)建立的具有生理阶段结构(stagestructure) 模型以及H. 1. Freedman研究的具有斑块迁移的单种群模型等，无一不是对Malthus模型的完善和扩展，极大地推动了种群动力学的发展现 实 世 界中种群不可能单独存在，它必与相关种群相互作用，相互依存.Lotka-Volterra模型是种群动力学中最为经典和重要的两种群相互作用的动力学模型，该模型分别由意大利数学家Volterra(1923年)解释鱼群变化规律和美国种群学家Lotka(1921年)在研究化学反应时提出。 后来，Gause和Witt(1 935年)将两种群Lotka-Volterra*型一般化为

?dx(t)/dt?x(t)(a1?b1x(t)?c1y(t)) ??dy(t)/dt?y(t)(a2?b2y(t)?c2x(t)) -4

第一部分 前言 这个模型包含了两种群之间的竞争、捕食与被捕食、互惠三个情况，通常根据系数，我们可以按如下方式划分三类系统:

(a)竞争系统(c1<0且c2<0)海一个种群的存在对另外一个种群的增长有抑制作用，主要原因是因为争夺共同的竞争资源，一个典型的例子是在同一片草地上生活的牛和羊。

(b)捕食系统(cl,c2 < 0)一个种群以另外一个种群为食饵加果c1<0,c2>0，则种群x为食饵，种群y为捕食者;反之，则种群y为食饵，种群x为捕食者一个典型的例子是美洲的山猫和野兔，

(c)互惠系统(c1>0且c2>0)一个种群的存在对另外一个种群的增长起促进作用典型的例子有:藻类和真菌，寄居蟹和海葵等。

数学生态学是用数学方法定量研究生态系统变化过程的学科。早在20世纪40年代，就有人应用数学概念和技术整理了生态实验和观察的经验数据，如在物种散布和生态位填充、岛屿地理学和地生态学，以及在营养动态和食物链研究等方面做出了贡献。到了60年代系统工程应用后，系统分析逐步引入了生态学研究。利用计算机进行生态过程模拟实验，标志系统生态学的开始，由于环境问题的出现和定量研究生态过程的深入，使系统分析和模拟技术在生态学领域发展十分迅速。美国许多地方建立起了生态系统模拟或资源计划研究中心。其他如加拿大、澳大利亚、日本和欧洲一些国家的数学生态学也有类似的发展和应用。系统分析和模拟数学生态发展的当代高阶段和新水平。

1.2 基础知识

1、捕食作用

捕食是指某物种消耗另一物种活体的全部或部分身体，直接获得营养以维持自己生命的现象。前者称为捕食者，后者称为被食者，亦称为猎物或食饵。生态学把捕食作用分为广义的和狭义的。狭义的捕食关系是指食肉动物直接捕杀猎物（食饵）作为食物。广义的捕食包括昆虫拟生者从宿主身体获得营养，直到宿主死亡为止；食植动物取食绿色植物；同类相食。一物种从另一物种的体液、组织或已消化的物质获取营养，并对宿主造成伤害的作用成为寄主。尽管寄生物依附于宿主而存活，长时间摄取营养而不立即杀死宿主。但是寄生——宿主关系就其本质而言，与广义的捕食——被食关系是一致的，所构建的模型也相同，只不过模型的参数有一定的差异。因此我们把这样的模型统称为捕食——被食系统模型。

2.简化假设与Lotak-Volterra模型的构建

设被食者种群大小为连续变量x，捕食者种群大小为连续变量y。在不考虑捕食者y存在时，x按指数方式增长，即dx/dt=αx;捕食者在无被食者时，因食物匮乏而死亡，y按指数方

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第一部分 前言 式减少，即dy/dt=-βy,其中α〉0、β〉0分别为x,y的自然增长率。设这两个种群在某一时期共处于同一空间，由于捕食作用使得x的增长率随着y的增加而下降，而y原来下降，随着x（食物）的增加而上升。于是模型中参数α和-β就须改写为α-my, -β+nx,式中常数m〉0是被食者所承受的捕食压力（亦称被捕率）。常数n〉0为捕食者捕杀猎物（食饵）的捕杀率。n越大，捕食者增长加快；m越大，被食者增长速度减缓。于是得到所构建的Lotak-Volterr捕食——被食动力系统模型为

｛ dx/dt = (r1-βy) x dy/dt = (-r2+αx) y (1.1)

常数r1，r2，α，β可由统计数据回归分析得到。

3、Holling功能反应系统

Holling在实验研究基础上，对不同类型的捕食者提出了三种不同的功能反应，亦称营养函数φ(x)

Ⅰ类营养函数又称线性反应，函数为

｛｛ φ(x)= bx/a , 0≦x≦a b , x>a 多见于滤食性捕食动物（如，多数软体动物，大型溞对藻类和酵母的取食）具有明

显饱和度的营养函数。

Ⅱ类营养函数为

φ(x) = ax / (1+bx)

式子表示捕食者的捕食量（食饵）增加而上升，直到饱和水平。食物多时，捕食者饥饿程度降低而出现负加速。此类营养函数多见于无脊椎动物和某些食肉鱼类。

Ⅲ类营养函数为

φ(x)=ax2/(1+bx2)

这类功能反应为具有复杂行为的脊椎动物所特有。在食物较少时，学习捕捉，随着食物增多而捕食率加速。食物数量超过x0时，饥饿程度降低而出现负加速，最后达到饱和。如果猎物具有防卫对策，捕食行为也属于此类功能反应。

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