内容发布更新时间 : 2024/11/14 15:09:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以

v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 l?h?s

将上式对时间t求导，得

222 2ldlds?2s dtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳??dlds?v0,v船?? dtdt即 v船??vdsldll???v0?0 dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船? ss将v船再对t求导，即得船的加速度

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m

?2v

=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a?dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt

积分，得 v?4t?32t?c1 2由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0

故 v?4t?32t 2又因为 v?dx3?4t?t2 dt2分离变量， dx?(4t?32t)dt 22积分得 x?2t?13t?c2 2由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5

故 x?2t?213t?5 2所以t?10s时

v10?4?10?3?102?190m?s?12

1x10?2?102??103?5?705m2?11-10 以初速度v0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2．

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图 (1)在最高点，

v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2

又∵ an1?v12?1

v12(20?cos60?)2?1??an110∴

?10m(2)在落地点，

v2?v0?20m?s?1,

o而 an2?g?cos60

2v2(20)2∴ ?2???80m

an210?cos60?1-13 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h

-1

-1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有v21?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

???

题1-13图

由图可知 v21?2v12?v2?50km?h?1

方向北偏西 ??arctanv13?arctan?36.87? v24(2)小船看大船，则有v12?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

???v12?50km?h?1

2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.

?

题2-2图

X方向： Fx?0 x?v0t ①

Y方向： Fy?mgsin??may ②

t?0时 y?0 vy?0

y?由①、②式消去t，得

1gsin?t2 2y?12 gsin??x22v02-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ekk?()tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为

?()tmvmx＝(0)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0()；(4)证明当t?mk时速

kk度减至v0的

1，式中m为质点的质量． e?kvdv? mdt答: (1)∵ a?分离变量，得

dv?kdt? vmt?kdtdv??即 ? v0v0mvv?ktln?lnem v0k?mt∴ v?v0e

(2) x?vdt???t0v0ek?mtdt?mv0?kt(1?em) k(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，

故有 x????0v0ek?mtdt?mv0 k