内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:46:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
物理简明教程第三版课后习题及答案
习题一
drdrdvdv1-1 |?r|与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不
同在哪里?试举例说明.
???r?r?r?r?r?r212?r1?r是位矢的模的增量,解:(1)是位移的模,即,; drdrds?v?dt(2)dt是速度的模,即dt.
drdt只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?rdt ?(式中r?叫做单位矢)∵有r?rr,则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量,
drdr与dtdt不同如题图所示. ∴
?dv?dvdva?dt,dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模,即
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度和加速度
1
d2rdr2x2?y2时,有人先求出r=,然后根据v=dt,及a=dt而求得结果;又有人
先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即
22
22?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ????va =及=
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,
???有r?xi?yj,
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?222?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????
2而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作。
drv?dtd2ra?2dt
drd2rdr与2其二,可能是将dtdt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不
d2r2是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,dt也不是加速度的模,它只
2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt?????。或者概括性地说,前一是加速度在径向分量中的一部分??r种方法只考虑了位矢在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢
??r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
2
1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j
??????vv4?v04a????1j?t44
???dva??1jm?s?2dt(6)
m?s?2
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
3
1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以v0(m·s)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大
?1小.
图1-4
解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知
222 l?h?s
将上式对时间t求导,得
2ldlds?2sdtdt
根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的,
v绳??dlds?v0,v船??dtdt
∴
v船即
lv0(h2?s2)1/2v0v0dsldllv船???????v0?dtsdtscos?或 ss
将v船再对t求导,即得船的加速度
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
s1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x,a的单位为
?1m?s?2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为10m?s,试求质点在任何坐标处
24
的速度值.
a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx
解: ∵
2分离变量: ?d??adx?(2?6x)dx
12v?2x?2x3?c两边积分得 2
由题知,x?0时,v0?10,∴c?50
3?1v?2x?x?25m?s∴
?21-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tm?s,开始运动时,x=5 m,
v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位置.
a?dv?4?3tdt
解:∵
分离变量,得 dv?(4?3t)dt
3v?4t?t2?c12积分,得
由题知,t?0,v0?0,∴c1?0
3v?4t?t22 故
又因为
v?dx3?4t?t2dt2
3dx?(4t?t2)dt2分离变量, 1x?2t2?t3?c22积分得
由题知 t?0,x0?5,∴c2?5
1x?2t2?t3?52故
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