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第二章 推理与证明

课时作业37

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A．有一个解 C．至少有三个解

B．有两个解 D．至少有两个解

解析：在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

答案：C

2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴

b<0与b为正实数矛盾，故P，Q，R都大于0.故选C.

答案：C

3．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题： ①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； ②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0； ③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

B. 2 D. 4

解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)

b)，f(b)

命题，④类似于②用反证法．故选D.

答案：D

4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C. △A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D. △A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

解析：因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．

假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)， 所以∠A1＝90°－∠A2.

同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2， 则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2. 又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，

∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°， 即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾， 所以原假设不成立．故选D. 答案：D 二、填空题

5．用反证法证明“f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个1

不小于”时的假设为________．

2

解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”． 1

答案：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 2

6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．

③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°. 上述步骤的正确顺序为__________．

解析：根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案：③①②

7．若下列两个方程x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______．

2

2

2

2

??Δ1＝

解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有?

?Δ2＝???3a＋2a－1>0，

?2

?a＋2a<0，?

2

a－1

2a2

2

－4a<0，

2

－4－2a<0，

即

解得{a|－2

－1}即为所求的a的取值范围． 答案：{a|a≤－2或a≥－1} 三、解答题

8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

证明：假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立．

假设数列{cn}是等比数列，则

(an＋bn)＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①

∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴an＝an－1an＋1，bn＝

2

2

2

bn－1bn＋1.

代入①并整理，得

2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(＋)， 即2＝＋.②

当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；

当p，q同号时，由于p≠q，∴＋>2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列． 9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a和y＝cx＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点． 由y＝ax＋2bx＋c，

2

2

2

2

pqqppqqppqqppqqpy＝bx2＋2cx＋a， y＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝(2b)－4ac≤0， 且Δ2＝(2c)－4ab≤0， 且Δ3＝(2a)－4bc≤0. 同向不等式求和得

4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0，

2

2

2222