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高一物理 习题课：竖直面内的变速圆周运动及临界状态
（2014-3-12）
【学习目标】 对竖直面内变速圆周运动能正确分析受力，明确其临界状态
〖归纳总结〗
“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 注意：a中绳对小球只能提供拉力，方向向下。
（b中轨道对小球只能提供弹力，方向向下）
v v 【发展目标】
v 绳 · 通过实例体会物理在生活中的应用，培养学生学习物理的兴趣 【重、难点】
根据牛顿第二定律利用向心力公式解决实际问题 【学习过程】
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行分析：
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零
a
b
一、没有物体支撑的小球
1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动在最高点的情况 v （1）球在最高点向心力是由什么力提供的？
（2）若绳长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求绳对球的拉力？
（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，绳中拉力如何变化？
2、若小球在光滑轨道内侧做圆周运动，轨道对小球的弹力情况 与上述情况类似，同学们试试自己分析一下。
V0
绳 v2mg =m ? v临界=
r（2）小球能过最高点条件：v ≥当v >gr
gr
gr时，绳对球有拉力（轨道对球有支持力）
gr（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
（3）不能过最高点条件：v <
【例1】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一个水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是
A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg
2vC．开始运动时，绳的拉力为m LD．球过最高点时，速度大小为Lg
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二、有物体支撑的小球
1、如图所示，轻杆的一端固定一小球在竖直面内做圆周运动， （1）球在最高点的向心力是由什么力提供的？
v 杆 〖归纳总结〗
“杆模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
注意：轻杆和细线不同，轻杆a对小球既提供拉力，又能产生提供力。
（双轨和单轨不同，双轨b对小球既能提供向下的弹力，又能提供向上的弹力）
杆 O a
b
（2）若杆长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求杆对球的弹力？
（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，杆中弹力如何变化？可按以下思路进行：
a、当v＝0时，轻杆对小球有 的 ，其大小等于 。 b、当0＜v＜gr时，杆对小球的 力的方向 ，其大小随速度的增大
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，此时F = mg（F为支持力） （2）当0< v <（3）当v =（4）当v >
【例2】如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R
而 ，其取值范围是： 。 c、当v＝d、当v＞
2、如下图所示的小球通过光滑双轨道最高点时，轨道对小球的弹力情况与上述情况类似。
a、当v＝0时，管的内壁 侧（填“上”或“下”）对小球有向 的 ， v 其大小等于 。 b、当0＜v＜gr时，F随v增大而减小，且F gr时，FN= 。 gr时，杆对小球有指向圆心的 ，其大小随速度的增大而 。 gr时，F=0 gr时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力） 的圆周运动，以下说法正确的是 A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为gr时，管的内壁 侧对小球有向 的 ， Rg O 其大小随速度的增大而 ，其取值范围是： 。 c、当v＝d、当v＞ C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 gr时，FN＝ 。 gr时，管的内壁 侧对小球有向 的 ，其大小随速度的增大 D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 而 。 2 / 5 〖教师点拨〗 【反馈练习】 圆周运动临界问题 （一） 水平面内圆周运动的临界问题： 做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面间相对滑动、接触面分离等临界状态，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．常见的如： 绳子的临界：绳子突然松弛——张力T=0 绳子突然断裂——张力T=Tmax 接触面相对滑动的临界：静摩擦力充当向心力时突然消失——摩擦力f=0 静摩擦力充当向心力时达最大值——摩擦力f=fmax 接触面分离的临界：与接触面不挤压——弹力FN=0 （二）竖直面内圆周运动的临界问题： 物体在竖直面内做的圆周运动往往是变速圆周运动，在某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，此速度即为临界速度。在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件。首先明确物理过程，对研究对象进行受力分析，，根据牛顿第二定律列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值——临界速度。常见的如： 轻绳模型（或单轨内侧、水流星） 轻杆模型（或双轨、管道内部、火车转弯） 拱形桥（或单轨外侧） A1．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 b A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 · O a A2．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是 A．0 B．mg C．3mg D．5mg A3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是 A．v的最小值为gL B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．v由gL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大 B4．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后 A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上 C B A E D h 3 / 5